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réunion de bases
Bonjour,
Je planche actuellement sur un exo de 2004 tombé au concours passerelle d'entrée en école de commerce. On nous demande préalablement de calculer une base B1 de Imf et une base B2 de Kerf, et de démontrer ensuite que Imf et Kerf sont supplémentaire dans 
4.
Ce qui est le cas.
On nous demande ensuite d'écrire la matrice B dans la base de 4 réunion de B1 et B2. J'ai beau chercher mais je ne comprends pas comment écrire cette matrice.
Dans le corrigé qui est donné, il trouve une base B1=(e1, f(e1)=(0,2,-1,1) et une base B2 de Kerf = (e2+2e3,e2-2e4)
Merci de m'expliquer comment vous trouvez la matrice. Je sais simplement que les deux colonnes de droite donc f(e3) et f(e4) seront nulles car elles correspondent à Kerf.
Merci mille fois d'avance. Bonne soiree
Bonjour,
ce n'est pas très clair tout ça.
f(e2 + 2e33) et f(e2-2e4) sont nuls, cela est acquis.Tu dis ensuite que tu as déjà exhibé une base B1 de Im(f).
Où est dans ce cas le problème?Les deux premières colonnes de la matrice relative à cette base seront donc les coordonnées des images des vecteurs de B1.
Ainsi, la première colonne est l'écriture de f(e1) dans la base (e1,f(e1),e2+2e3,e2-2e4)
Il y a donc un 1 en deuxième chiffre de cette colonne, des 0 ailleurs.
Pour la deuxième colonne, il s'agit de f(f(e1)) = f²(e1), que je ne connais pas mais que tu dois exprimer par rapport à e1 et f(e1), ce qui est forcément possible puisque Im(f) est stable par f. 
Merci de m'avoir répondu si rapidement.
Eh bien dans le corrigé, on trouve la matrice suivante:
0 6 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Je ne comprends pas d'où sortent le 6 et le 1 à partir des bases B1 et B2 trouvées! (les mêmes dans le corrigé je précise)
Peux-tu expliciter ta derniere phrase avec f(f(e1)? C'est là que ca doit se jouer, car jamais vu...
Bonne nuit!
Et pourquoi un 1 en deuxieme chiffre de la colonne ???
Je l'aurais mis en premier chiffre de la colonne puisque e1=(1,0,0,0)
Pas de problème, je reprends! 
J'écrirai désormais e'3 pour e2 + 2e3 et e'4 pour e2 - 2e4.
La base où l'on se place est donc (e1,f(e1),e'3,e'4).
La première colonne de la matrice de f dans cette base, c'est l'expression de l'image du premier vecteur e1 de cette base en fonction des 4 vecteurs de cette base.
Or, l'image de e1, c'est f(e1).
Comment écrire f(e1) comme combinaison linéaire de e1, f(e1), e'3 et e'4?
Très simplement, à vrai dire!
f(e1) = 0.e1 + 1.f(e1) + 0.e'3 + 0.e'4.
Donc, dans la première colonne de la matrice apparaîtront successivement les coeffcients de l'expression précédente, à savoir 0, puis 1, puis 0, puis 0.
Tu comprends mieux?
Et si la deuxième colonne est 6, puis 0, puis 0, puis 0, cela signifie que l'image par f du deuxième vecteur de cette base, c'est 6 fois le premier, u point c'est tout!
Autrement dit, que l'image de f(e1) vaut 6.e1.
Or, l'image de f(e1), c'est f²(e1).Tu devrais donc avoir f²(e1) = 6e1, n'est-ce pas?
Coucou merci pour ce complément d'infos, ca va mieux pour la première colonne! J'ai compris, merci merci.
Dans notre exemple, f(e1)=(0,2,-1,1) donc la par contre, je ne sais toujours pas comment on arrive à 6...lol
bonne journée!
C est justement f(f(e1)) que je n'arrive pas à calculer. Peut-on m'expliquer??
Merci à l'avance.
Bonne soirée
comme tu ne nous a pas donné le début (comment f est définie ? par sa matrice ? par les images des vecteurs de base ?) on ne peut guère t'aider ....
bon, je suis allée sur le site passerelle ! f(e2) = 2e1, f(e3) = -e1 et f(e4) = e1 d'après la matrice de f
donc f(f(e1))=f(2e2-e3+e4)=2f(e2)-f(e3)+f(e4)=6e1
lol
Merci. Oki j'ai compris pour 6e1! Mais c'est vraiment du cas par cas. Réussir tel exercice n'assure pas de réussir tel autre semblable... rrrrr!
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