Niveau maths spé

révisions partie entière MP

Posté par
alexonso 06-09-09 à 12:14

Bjr je dois montrer que somme de k=0 à n-1 de E(x+(k/n))=E(nx) et je ne vois pas du tout comment montrer cela. SI qqn peut m'aider merci d'avance.
Autre question je dois montrer que E(racine(n)+racine(n+1))=E(racine(4n+2). On me donne comme indications de montrer une inégalité facile entre les 2 membres puis dans un second temps de supposer par l'absurde qu'il existe un p intercalé et de conclure par des considérations arithmétiques.
Merci d'avance et a très vite.
Alexandre

Posté par re : révisions partie entière MP 06-09-09 à 23:28

Bonsoir,

pour la première soit x est un entier naturel et c'est bon. Sinon soit x+k/n est tel que E(x)=E(x+(k/n)) pour tous les k et c'est bon, soit alors i l'entier tel que $E(x+\frac{i-1}{n})<E(x+1)=1+E(x)=E(x+\frac{i}{n})$ . Tous les k/n pour k>i donneront la même partie entière car $1+E(x)=E(x+\frac{i}{n})<E(x+\frac{i}{n}+1)=1+E(x+\frac{i}{n})$ comme $\frac{i}{n}<\frac{k}{n}<\frac{i+n}{n}$ .

Cette somme vaut donc nE(x)+n-i où n-i est le nombre de fois où E(x+(k/n))=1+E(x).

En écrivant x sous la forme $x=\sum_{k=0}^m10^ka_k+\sum_{k\geq 1}\frac{b_k}{10^k}$ avec $a_k$ et $b_k$ des chiffres on a $nx=nE(x)+n\sum_{k\geq 1}\frac{b_k}{10^k}$ . Or $\sum_{k\geq 1}\frac{b_k}{10^k}+\frac{i-1}{n}<1\leq\sum_{k\geq 1}\frac{b_k}{10^k}+\frac{i}{n}$ soit $n\sum_{k\geq 1}\frac{b_k}{10^k}+i-1<n\leq n\sum_{k\geq 1}\frac{b_k}{10^k}+i$ ce qui donne $n-i\leq n\sum_{k\geq 1}\frac{b_k}{10^k}<n+1-i$ et la partie entière de $n\sum_{k\geq 1}\frac{b_k}{10^k}$ vaut n-i d'où le résultat.

Pour le 2 on a $\sqrt{4n+2}>\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$ et 4n+2 n'est jamais un carré donc $\sqrt{4n+2}$ n'est pas un entier.

Supposons par l'absurde que leur partie entière n'est pas égale alors nécessairement il existe un entier p tel que $\sqrt{n}+\sqrt{n+1}<p<\sqrt{4n+2}$ et au carré $2n+1+2\sqrt{n}\sqrt{n+1}<p^2<4n+2$ . Mais $4n+1<2n+1+2\sqrt{n}\sqrt{n+1}<4n+2$ . Contradiction.

De ce fait $\sqrt{4n+2}$ et $\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$ ont même partie entière.

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