Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Révisions sur les suites

Posté par
H_aldnoer 19-09-09 à 21:41

Bonsoir,

en revoyant quelques exercices sur les suites, j'ai eu quelques hésitations.
Etudier le sens de variations et la nature de \Large u_n=\sqrt[n]{n} \,\,,\,\, (1+\frac{1}{n})^n \,\,,\,\, \frac{n}{ln(n)}.

Je trouve comme limite respectivement e , e , et \Large +\infty.
Pour l'étude de la monotonie, n'arrivant pas à comparer \Large U_{n+1} et \Large U_n, je pose à chaque fois \Large f_n(x)=\sqrt[n]{x} \,\,,\,\, (1+\frac{1}{x})^n \,\,,\,\, \frac{x}{ln(x)} de sorte que \Large u_n=f_n(n). En étudiant les variations de \Large f_n, on déduit la monotonie de \Large (u_n) (on trouve respectivement croissante, décroissante et croissante).

Est-ce correct ?

Posté par
perroquetre : Révisions sur les suites 19-09-09 à 21:47

Bonjour, H_aldnoer

Citation :

Je trouve comme limite respectivement e , e , et \Large +\infty.


La première limite vaut 1.

Citation :

Pour l'étude de la monotonie, n'arrivant pas à comparer \Large U_{n+1} et \Large U_n, je pose à chaque fois \Large f_n(x)=\sqrt[n]{x} \,\,,\,\, (1+\frac{1}{x})^n \,\,,\,\, \frac{x}{ln(x)} de sorte que \Large u_n=f_n(n).


Pour les deux premières, il faut poser en fait:
3$f(x)=x^{1/x}       3$f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x

Posté par
bill159re : Révisions sur les suites 19-09-09 à 21:47

Bonjour,

J'aimerai bien t'aider mais pourquoi tu met des virgules dans les expressions dans une égalité,
Il s'agit d'une suite ou de trois suites?

Posté par
bill159re : Révisions sur les suites 19-09-09 à 21:51

{u_n} = \sqrt[n]{n} = {n^{\frac{1}{n}}}

et de là, tu fais intervenir l'exponentielle et le logarithme népérien.

{u_n} = \sqrt[n]{n} = {n^{\frac{1}{n}}} = {e^{\frac{1}{n}\ln \left( n \right)}}

Posté par
H_aldnoerre : Révisions sur les suites 19-09-09 à 21:51

Ok. Mais pour la dernière, pas besoin de poser \Large f(x)=\frac{x}{ln(x)} ? Je n'arrive pas à comparer \Large\frac{n}{ln(n)} et \Large\frac{n+1}{ln(n+1)} car d'une part \Large n\le n+1 et d'autre part \Large \frac{1}{ln(n+1)}\le\frac{1}{ln(n)} !

Posté par
bill159re : Révisions sur les suites 19-09-09 à 21:52

tu saura sans doute étudier \frac{{\ln \left( n \right)}}{n}

Posté par
H_aldnoerre : Révisions sur les suites 19-09-09 à 21:52

bill : ok, et ensuite ? Pour la limite pas de problème. Mais pour la monotonie, sans passer par une fonction auxiliaire f, je ne m'en sors pas.

Posté par
bill159re : Révisions sur les suites 19-09-09 à 21:54

c'est la fonction inverse qui change le sens des inégalités...

Posté par
H_aldnoerre : Révisions sur les suites 19-09-09 à 21:55

Oui, et alors ?

Posté par
H_aldnoerre : Révisions sur les suites 19-09-09 à 22:01

perroquet : pourquoi n'as-tu pas besoin de poser \Large f(x)=\frac{x}{ln(x)} pour la dernière ?

Posté par
perroquetre : Révisions sur les suites 19-09-09 à 22:03

Pour la dernière, je pose aussi  f(x)=\frac{x}{\ln x}
Je n'ai pas repris cette partie du raisonnement qui était correcte.

Posté par
bill159re : Révisions sur les suites 19-09-09 à 22:05

f\left( x \right) = \frac{x}{{\ln \left( x \right)}} = \frac{{{e^{\ln \left( x \right)}}}}{{\ln \left( x \right)}}

pose X = \ln \left( x \right)

Posté par
H_aldnoerre : Révisions sur les suites 19-09-09 à 22:09

Parfait. Connais-tu une façon "rapide" de démontrer que \Large (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} \ge (1+\frac{1}{n})^{n} ?
J'avais initialement écris tout ça avec le binôme de Newton \Large (a+b)^n = \Bigsum_{k=0}^n C_n^ka^kb^{n-k} mais ça n'a pas aboutit.

Posté par
bill159re : Révisions sur les suites 19-09-09 à 22:34

{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = {\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)^n} = {e^{n\ln \left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)}}

fais de même pour le rang n+1

{\left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)^{n + 1}} = {e^{\left( {n + 1} \right)\ln \left( {\frac{{n + 2}}{{n + 1}}} \right)}}

et tu disais que n + 1 \ge n et que \ln \left( {n + 1} \right) \ge \ln \left( n \right), donc tu peux conclure.

Posté par
H_aldnoerre : Révisions sur les suites 19-09-09 à 22:41

On ne peut conclure comme ça car \Large \frac{(n+2)}{(n+1)}\le\frac{(n+1)}{n} et que \Large (n+1)\ge n

Posté par
bill159re : Révisions sur les suites 19-09-09 à 23:03

oui c'est vrai...

je cherche...

Posté par
H_aldnoerre : Révisions sur les suites 20-09-09 à 20:39

Posté par
perroquetre : Révisions sur les suites 20-09-09 à 20:47

Je ne vois pas ce que tu as encore à demander sur ce topic.

Posté par
H_aldnoerre : Révisions sur les suites 20-09-09 à 21:03

Bonsoir perroquet,

je cherche d'autres méthodes pour démontrer que \Large (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} \ge (1+\frac{1}{n})^{n}, s'il en existe.

Posté par
perroquetre : Révisions sur les suites 20-09-09 à 21:14

Voici une autre démonstration. Mais je ne la trouve pas très élégante ni très efficace.

L'inégalité revient à démontrer:    3$ (n+2)^{n+1}n^n \geq (n+1)^{2n}

qu'on peut aussi écrire sous la forme   (n+2)(n^2+2n)^n \geq (n^2+2n+1)^n

ce qui revient à    3$ n+2 \geq \left( 1+\frac{1}{n^2+2n}\right)^n

Et cette dernière inégalité n'est pas trop dure à montrer.


Il me semble avoir lu dans des commentaires du programme de Terminale S qu'il n'était pas trop difficile de montrer la croissance de cette suite de manière élémentaire (sans fonction logarithme). Donc, tu peux peut-être chercher de ce côté.

Posté par
H_aldnoerre : Révisions sur les suites 20-09-09 à 21:24

Et pourtant !
Je tombe sur \Large \frac{U_{n+1}}{U_n} = (\frac{n(n+2)}{(n+1)^2})^n(1+\frac{1}{n+1}) et je ne peux conclure. Je ne vois pas d'autre manière élégante non plus.

Mais je ne sais pas pourquoi, je n'arrête pas de penser à la concavité ou la convexité d'une certaine fonction

Posté par
perroquetre : Révisions sur les suites 20-09-09 à 21:53

Citation :

Voici une autre démonstration. Mais je ne la trouve pas très élégante ni très efficace.


Et, en plus, il y avait une faute
J'avais écrit que cela revenait à démontrer que    3$ (n+2)^{n+1}n^n \geq (n+1)^{2n}
alors qu'il s'agissait de démontrer que      3$ (n+2)^{n+1}n^n \geq (n+1)^{2n+1}

Donc, je jette l'éponge pour chercher une autre démonstration, je ne suis pas assez motivé

Mais je te conseille de reposer la question dans le forum    Espace Profs
Ce ne sera pas un multipost, puisque c'est un prolongement de ce topic.
Et, s'il existe une solution au niveau Terminale, des profs de terminale qui passent sur le forum  Espace Profs  pourront te la donner.

Posté par
bill159re : Révisions sur les suites 30-09-09 à 14:29

Une méthode pour montrer {U_{n + 1}} \ge {U_n}?

Merci d'avance.

Posté par
bill159re : Révisions sur les suites 30-09-09 à 14:54

\Large {U_n} = {\left( {1 + \displaystyle\frac{1}{n}} \right)^n} = {e^{n\ln \left( {\displaystyle \frac{{n + 1}}{n}} \right)}}

\Large {U_{n + 1}} = {\left( {1 + \displaystyle \frac{1}{{n + 1}}} \right)^{n + 1}} = {e^{\left( {n + 1} \right)\ln \left( {\displaystyle \frac{{n + 2}}{{n + 1}}} \right)}}

ce qui reviens à comparer \Large {\left( {n + 1} \right)\ln \left( {\displaystyle \frac{{n + 2}}{{n + 1}}} \right)} et \Large {n\ln \left( {\displaystyle \frac{{n + 1}}{n}} \right)}

or n+1 supérieur à n donc reste plus qu'à comparer \Large {\ln \left( {\displaystyle \frac{{n + 1}}{n}} \right)} et \Large {\ln \left( {\displaystyle \frac{{n + 2}}{{n + 1}}} \right)}

Non ?  si oui, comment faire?

Merci d'avance

Posté par
bill159Comparaison suite (prolongement d'un autre topic) 30-09-09 à 15:07

Bonjour,

Je continue depuis Révisions sur les suites

comment prouver que \color{blue}\Large \ln \left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right) \le \ln \left( {\frac{{n + 2}}{{n + 1}}} \right)

Merci d'avance

*** message déplacé ***

Posté par
Coll Moderateurre : Révisions sur les suites 30-09-09 à 15:34

Bonjour,

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q04 - Où dois-je poster une nouvelle question ?

Posté par
bill159re : Révisions sur les suites 30-09-09 à 15:35

Suffit-il seulement de montrer que \large \fbox{\frac{{n + 2}}{{n + 1}} \ge \frac{{n + 1}}{n}?

Posté par
bill159re : Révisions sur les suites 30-09-09 à 15:36

désolé

Bonne journée!

Posté par
perroquetre : Révisions sur les suites 30-09-09 à 15:40

Bonjour, bil159

H_aldnoer a suivi mon conseil, et le problème a été (brillamment) résolu.
Ca se trouve ici
Monotonie d'une suite


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !