Bonsoir.

f + g inversible signifie :

pour tout y dans E, il existe un unique x tel que y = (f + g)(x)

Cela s'écrit aussi : pour tout y de E, y = f(x) + g(x) qui appartient à la somme Im(f) + Im(g).

Conclusion : E = Im(f) + Im(g).

Il te reste à montrer que cette somme est directe.

Salut Raymond.
Je n'ai pas fais comme ça. On sait que rg(f+g)=n car f+g est inversible. De plus on sait que
Imf+Img=n donc dim(Imf+Img)=n <(ou égale) dim(Imf)+dim(Img)
de plus rg(f)+dim(Kerf)=n. Or fg=O implique Img inclus dans Kerf. Donc rg(g)<(ou égale) dim(Kerf).
Donc rg(f)+rg(g) <(ou égale) n. Donc rg(f)+rg(g)=n.
Merci encore Raymond.

Comment prouves-tu que : " De plus on sait que Imf + Img = n " ?

C'est en fait la réponse demandée.