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Série de Fourier

Posté par
jarod68 29-04-09 à 20:03

Bonjour a tous,
J'ai un exercice d'entrainement sur les transformées de Fourier et je sais pas trop comment m'y prendre...

Exercice :
Soit la fonction périodique f(t) definie sur [0;] par f(t)=t
1) Develloper en série de fourier cette fonction
2) Déterminer la fondamental et les 2 premiers harmoniques
3) Calculer l'energie totale du signal. Calculer l'energie du rang fondamental. Quel portion de l'energie totale est apportée par le fondamental.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Série de Fourier 29-04-09 à 20:12

Bonsoir,

tu es sûr que ce n'est pas de la Physique? Je ne comprends pas les énoncés des questions 2 et 3!
Pour la 1, qu'as-tu fait?

Posté par
gui_toure : Série de Fourier 29-04-09 à 20:14

Salut !

Ba c'est beaucoup de cours .. comment détermines-tu les coeffs de Fourier ?

Ah salut Greg, heureusement que j'ai actualisé

Si si c'est des maths Le fondamental c'est le terme en cos(omega t) (ou sin)

Pour la 3, ça sent la formule de Parceval à plein nez ! (elle traduit que toute l'énergie des harmoniques se conserve)

Posté par
gui_toure : Série de Fourier 29-04-09 à 20:18

En clair :

En physique, la quantité 4$\fr{1}{2\pi}{3$\Bigint_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^2 dt mesure l'énergie moyenne du signal f.

La formule de Parseval traduit que cette énergie est la somme des énergies des harmoniques. Cela prouve notamment que les harmoniques n'interfèrent pas.

Posté par
jarod68re : Série de Fourier 29-04-09 à 20:19

Je suis en DUT reseaux+télécom. On a fait des transformé de fourier en télécom pour le traitement du signal, mais on avait un tableau de principaux signaux, ce n'etait pas des série.
La c'est en cours de maths qu'on vois ca.

Donc pour la 1ere je vais devoir faire le calcul des coefficients a0, an, et bn je pense ?
Mais je voudrai etre sure que la periode est bien T= et donc que =2/T=2 ?
Merci,

Posté par
gui_toure : Série de Fourier 29-04-09 à 20:20

Oui c'est bien ça, la pulsation vaut 2. Et oui il va falloir calculer les coefficients

Posté par
Tigweg Correcteurre : Série de Fourier 29-04-09 à 20:22

Salut Guillaume!

Oui mais c'est pas juste, toi tu as le prof de Physique pour interpréter les cours de maths!

Sérieusement, je n'avais jamais entendu parler de ça!

Posté par
jarod68re : Série de Fourier 29-04-09 à 20:28

Je trouve a0=pi/2
an=1/pit cos(2nt)dt
bn=1/pit sin(2nt)dt

Mais pourriez vous me rappeller la methode de résolution de ces 2 integrales ?
je pense utillisé l'identité f'cos(f) => sin(f)+cst

Posté par
gui_toure : Série de Fourier 29-04-09 à 20:35

jarod > Fais une intégration par parties

Et oui Greg

Posté par
jarod68re : Série de Fourier 30-04-09 à 09:44

Alors j'ai donc comme solution :
A0 = /2
An= -1/2n
Bn=-1/n

Pouvez vous me le confirmer ? Je ne met pas le détail du calcul, il me faudrait 2h00 pour tout rentrer en Latex (deja que j'en ai pas l'habitude ^^)

Merci,

Posté par
gui_toure : Série de Fourier 30-04-09 à 14:59

J'aurais dit An=0 Bn=-1/(2n)

Posté par
jarod68re : Série de Fourier 30-04-09 à 18:38

A présent j'ai An=

\\ \\ \\ a_n=\frac{2}{T}\int_0^{\pi} f(t)cos(2nt) dt \\ = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}t cos(2nt) dt \\ = \frac{2}{\pi}(\int_0^{\pi}sin(2nt) dt - [sin(2nt)t]) \\ = \frac{2}{\pi}([-cos(2nt)]-[sin(2nt)]) \\ \\ \\ \\ =\frac{2}{\pi}((-cos(2\pin)+cos(0))-(sin(2n\pi)\pi)) \\ \\ \\ \\ =\pi \\

Posté par
gui_toure : Série de Fourier 30-04-09 à 20:45

Il y a plusieurs erreurs, notamment quand tu intègres tu oublies de diviser par 2

Posté par
ottore : Série de Fourier 01-05-09 à 08:13

Ca n'aurait pas plus de sens si l'énergie était la norme 2 de f' plutôt que celle de f ??? (par curiosité) .

Posté par
jarod68re : Série de Fourier 01-05-09 à 09:56

J'ai refais les calculs en corigeant les erreurs, et je tombe a nouveau sur
An=-1/2n
Bn=-1/n

Quelq'un peu verifier s'il vous plait ?

Merci,

Posté par
gui_toure : Série de Fourier 01-05-09 à 10:26

jarod68 >

3$a_n=\fr{1}{\pi}\Bigint_0^{\pi}t\cos(2nt)dt

3$u(t)=t\\u'(t)=1\\u''(t)=0        3$v''(t)=\cos(2nt)\\v'(t)=\fr{1}{2n}\sin(2nt)\\v(t)=-\fr{1}{4n^2}\cos(2nt)

d'où 3$\pi a_n=\[u(t)v'(t)-u'(t)v(t)\]_0^{\pi}-\Bigint_0^{\pi}u''(t)v(t)dt=\[\fr{t}{2n}\sin(2nt)+\fr{1}{4n^2}\cos(2nt)\]_0^{\pi}
3$\pi a_n=\fr{1}{4n^2}-\fr{1}{4n^2}=0   3$\fbox{\forall n\ge1, \ a_n=0

Calcul similaire pour les b_n, on trouve 3$\fbox{\forall n\ge 1\ b_n=-\fr{1}{2n

otto > Je ne crois pas. Quand on fait une transformée de Fourier sur un oscillo, on regarde les énergies des différents modes du signal lui-même, donc pas de f '. En tout cas dans mon cours et dans les livres, la formule porte sur f !

Posté par
jarod68re : Série de Fourier 01-05-09 à 15:28

Je n"avais jamais vu de calcul d'integral par partie en utillisant la derivee seconde.
J'ai donc refais avec la methode directement issue de (uv)'=u'v+uv' et je trouve bien 0 pour An
Mais pour Bn, j'ai 1/n... car enfait je crois qu'on n'a pas le meme calcul de départ, tu as pris 1/, et d'apres mon cours c'est 2/ (pour An ca change rien, mais Bn...)
Voila mon calcul :
\\ \\ \Large b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi{t sin(2nt)dt)} \\ \\ = \frac{2}{\pi}[\frac{-cos(2nt)t}{2n}]_0^\pi + \frac{1}{2n} \int_0^\pi{cos(2nt)dt} \\ \\ =\frac{2}{\pi}(\frac{-1}{2n}[-cos(2nt)t]_0^\pi + \frac{1}{4n^2} [sin(2nt)]_0^\pi ) \\ \\ \\ =\frac{2}{\pi}(\frac{-1}{2n}(-cos(2n\pi)\pi)+\frac{1}{4n^2}(sin(2\pi)-sin(0)) \\ \\ \\ =\frac{2}{\pi}(\frac{\pi}{2n}) \\ =\frac{1}{n} \\ \\ \\ \\

Posté par
gui_toure : Série de Fourier 01-05-09 à 15:56

un signe est faux à la 3è ligne, c'est pas -cos(

Posté par
jarod68re : Série de Fourier 01-05-09 à 16:14

Oups, ca y est : j'ai Bn= -1/n (ce qui est juste, car si je divise par 2 j'ai comme toi (tu avais oublier de multiplier le truc de debut par 2)
Ensuite j'ai :
\\ \LARGE \\ u_n = frac{-sin(nx)}{n} \\ \\ f(x)= \sum_{n=0}^\infty{frac{-sin(nx)}{n}} \\ \\ \\
Pour calculer la fondamental, il s'agit de A0 non ?

Posté par
gui_toure : Série de Fourier 01-05-09 à 16:17

Non c'est a_1 je crois

Posté par
gui_toure : Série de Fourier 01-05-09 à 16:18

Plutôt b_1 donc sin(x)

Posté par
jarod68re : Série de Fourier 01-05-09 à 20:50

Mais je croyais que la fondamentale, etait U_1 = -sin (x) et pour les 2 1ere harmoniques  U_2 = -sin (2x)/2
u_3 = -sin (3x)/3

N'est ce pas cela ?

Posté par
gui_toure : Série de Fourier 01-05-09 à 20:51

Si si mais U_1 = b_1 ^^

Oui j'ai oublié le -

Posté par
jarod68re : Série de Fourier 02-05-09 à 09:28

Apres pour le calcul d'energie :
\\ \large \\ D'apres mon cours j'ai : \\ \\ -Norme du signal, valeur efficace : \\ [tex] \\ \large \\ ||F|| = sqrt{\frac{1}{T}\int_0^\pi{f^2(t)dt}} \\
Energie du signal : \\ \large \\ ||F||^2 \\
Energie a l'harmonique de rang n :
\\ \large \\ E_n=\frac{a_n^2 + b_n^2}{2} \\

J'ai donc fait :
\\ \large \\ ||F||^2=\frac{\pi^2}{3} \\ Et E_1 = \frac{1}{2} \\ \\

Posté par
jarod68re : Série de Fourier 02-05-09 à 14:26

Personne pour confirmer mes calcul ?

Posté par
jarod68re : Série de Fourier 03-05-09 à 17:42

Re,
C'est bon le probleme est resolu, a la fin pour avoir E_portion, il suffisait de faire E1/E_tot, le reste des calcul est juste.
J'ai pus comparé mes resultats avec quelqu'un de ma promo.


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