Bonjour.....
à priori ce me parait impossible....
mais, on peut sans doute arriver à quelque-chose en bidouillant l'espace F....et E.

peut-être essayer le quotient par F.....



les endomorphismes A,B,C sont compatibles avec la relation d'équivalence R

Bonjour

C'est quoi le problème initial ?

Bonjour

Moi aussi j'aimerais connaitre le problème initial. N'importe quel polynôme en A,B,C laisse stable F. Alors un truc fabriqué à partir des polynômes caractéristiques, minimaux, des restrictions à F...

mouais j'y réfléchirai
c'est une question du polytechnique 1985 M' mais enfin je me posais juste cette question... j'ai résolu la question avec des hypothèses supplémentaires (B nilpotent, [A,B]=aB ... enfin là n'est pas la question) mais je voulais juste voir dans un cadre ""plus général"" avec cette vague idée.

bon benh je met succintement ce que l'on a:

a réel non nul, ([.]: crochet de Lie)
on a [A,B]=aB , [B,C]=A et [A,C]=-aC

par [A,B]=aB on prouve que B est nilpotent (idem pour C)

ensuite on suppose rg(B)=n-1

on montre que (là c'est vraiment avec tout depuis le début) que A se diagonalise et on l'expression de ces valeurs propres et la base propre.
on trouve la matrice de B et C dans cette bases (en gros A est diagonale, B ne comporte que des 0 et la ""diagonale supérieure" avec que des 1 et C n'a que des 0 avec la diagonale inférieure non nul)

et on doit prouver que et E sont les seuls sev stables à la fois par A B et C.

sinon je l'ai résolu autrement mais voilà j'avais cette vague idée de solution

enfin bref ...