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Signature d'une permutation

Posté par
infophile 24-04-08 à 15:39

Bonjour

Citation :
Pour n au moins égal à 1, quelle est la signature de la permutation : 3$ \rm \begin{pmatrix}1&2&\cdots&n&n+1&n+2&\cdots 2n\\1&3&\cdots&2n-1&2&4&\cdots 2n\end{pmatrix}


Qu'est-ce qui est le plus simple ici ? De compter le nombre d'inversions ?

Merci !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 15:58

Salut, tout-à-fait Kevin!

Posté par
infophilere : Signature d'une permutation 24-04-08 à 16:17

Salut Greg

Je pense avoir trouvé, je poste ce soir là je dois filer.

A plus tard et merci !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 16:21

Ok, avec plaisir!
Bonne après-midi Kevin!

Posté par
Camélia Correcteurre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 16:29

Bonjour

Je crois que je préférerais une décomposition en cycles disjoints, à première vue, (basse devant un écran) il y a deux points fixes et 2 cycles, non?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 16:38

Bonjour Camélia,

je n'ai pas l'impression: si n=3 par exemple, je ne vois qu'un seul cycle en plus des deux points fixes, à savoir (2,3,5,4).

Posté par
Camélia Correcteurre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 16:41

Salut Tigweg
C'est possible, j'ai bien dit que c'est au pif! Néanmoins la méthode me semble intéressante!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 16:49

J'avoue que je ne vois pas comment compter les cycles de manière générale dans cet exemple!

Le nombre de paires d'inversions en revanche est clairement (1+...+n-1)=n(n-1)/2 , sauf erreur!

Posté par
blangre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 17:09

Salut Greg et Camélia

Ouais, je trouve comme toi Greg.

Pour déterminer les orbites et leurs longueurs, regarder suivant les valeurs de n modulo 4 doit suffire, non ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 17:14

Salut blang.

OK j'avais pas essayé!

Posté par
blangre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 17:18

Citation :
OK j'avais pas essayé


Mouais, enfin... moi aussi, j'ai un peu dit ça au pif

Posté par
Tigweg Correcteurre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 17:20



De plus, j'avoue qu'essayer me tente...comment dire...assez moyennement!

Posté par
infophilere : Signature d'une permutation 24-04-08 à 17:35

Bonjour à tous

Voilà ce que j'ai fait :

Citation :
Déjà si 3$ \rm (i,j)\in \mathbb{[}1,n\mathbb{]}^2 ou 3$ \rm (i,j)\in \mathbb{[}n+1,2n\mathbb{]} on a 3$ \rm (i-j)(\sigma(i)-\sigma(j))>0.

Donc on doit choisir les paires dans 3$ \rm \mathbb{[}1,n\mathbb{]}\times \mathbb{[}n+1,2n\mathbb{]}.

Ensuite on remarque qu'on a des inversions pour 3$ \rm j<n+i.

Donc pour 3$ \rm i fixé on a 3$ \rm i-1 inversions.

En balayant 3$ \rm \mathbb{[}1,n\mathbb{]} on a alors 3$ \rm \frac{(n-1)n}{2} inversions.

D'où 3$ \rm \fbox{\epsilon(\sigma)=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}}


Merci

Posté par
Tigweg Correcteurre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 17:38

Yep, parfait!

Posté par
infophilere : Signature d'une permutation 24-04-08 à 18:15

Autre question :

Citation :
Soit 3$ \rm n\ge 2, 3$ \rm (i,j)\in \{1,...,n\}^2 (i\neq j) et 3$ \rm \sigma\in S_n.

Montrer que 3$ \rm \sigma et 3$ \rm (i,j) commutent ssi 3$ \rm \{i,j\} est stable par 3$ \rm \sigma.


Bon le sens 3$ \rm \fbox{\Longleftarrow} est simple, car :

3$ \rm (i,j)=\begin{pmatrix}1&\cdots&i&\cdots&j&\cdots &n\\1&\cdots &j&\cdots &i&\cdots &n\end{pmatrix} et 3$ \rm \sigma=\begin{pmatrix}1&\cdots &i&\cdots &j&\cdots &n\\\sigma(1)&\cdots &i&\cdots&j&\cdots &\sigma(n)\end{pmatrix}

Et on obtient alors en composant : 3$ \rm \fbox{(i,j)\circ \sigma=\sigma \circ (i,j)=\begin{pmatrix}1&\cdots &i&\cdots &j&\cdots &n\\\sigma(1)&\cdots &j&\cdots&i&\cdots &\sigma(n)\end{pmatrix}}

Réciproquement si on suppose qu'ils commutent, alors d'une part :

3$ \rm \sigma \circ (i,j)=\begin{pmatrix}1&\cdots &i&\cdots &j&\cdots &n\\\sigma(1)&\cdots &\sigma(j)&\cdots&\sigma(i)&\cdots &\sigma(n)\end{pmatrix} (\ast)

Et d'autre part 3$ \rm \sigma=\begin{pmatrix}1&\cdots &i&\cdots &j&\cdots &n\\\sigma(1)&\cdots &\sigma(i)&\cdots&\sigma(j)&\cdots &\sigma(n)\end{pmatrix}

En composant par 3$ \rm (i,j) on doit obtenir 3$ \rm (\ast) et ce n'est possible que si l'on échange les éléments 3$ \rm \sigma(i) et 3$ \rm \sigma(j).

Autrement dit : 3$ \rm \fbox{\|\sigma(i)=i\\\sigma(j)=j}

Juste ?

Posté par
gui_toure : Signature d'une permutation 24-04-08 à 18:25

Bonjour à tous

Joli \LaTeX, Kév

Posté par
infophilere : Signature d'une permutation 24-04-08 à 18:28

Citation :
Soit 3$ \rm n\ge 3 et 3$ \rm \sigma\in S_n commutant avec toutes les permutations de 3$ \rm S_n.

Montrer que 3$ \rm \sigma est égal à l'identité, autrement dit que le centre de 3$ \rm S_n est réduit à l'identité.


On utilise la question précédente, en disant qu'en particulier 3$ \rm \sigma commute avec toutes les transpositions 3$ \rm (i,j) et donc qu'elle laisse stable les paires 3$ \rm \{i,j\}, soit finalement tous les éléments de 3$ \rm \mathbb{[}1,n\mathbb{]}.

On en déduit que 3$ \rm \fbox{\sigma=Id_{\mathbb{[}1,n\mathbb{]}}}.

Juste ?

Posté par
infophilere : Signature d'une permutation 24-04-08 à 18:29

Merci guigui

Posté par
Cauchyre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 19:01

Salut,

où utilises-tu que n=3?

Posté par
Cauchyre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 19:02

n>=3 je voulais dire

Posté par
infophilere : Signature d'une permutation 24-04-08 à 19:40

Salut

Euh nulle part

C'est grave doc' ?

Posté par
Cauchyre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 20:05

Oui car le centre de S2 c'est S2

Posté par
infophilere : Signature d'une permutation 24-04-08 à 20:10

Oui car il n'y a que deux permutations : (1,2) et l'identité donc forcément ça commute

Ce que j'ai dis est incomplet alors ?

Posté par
Cauchyre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 20:13

Bien à partir du "soit tous les éléments" il y a un truc à dire

Posté par
infophilere : Signature d'une permutation 24-04-08 à 21:22

Je vois pas

Posté par
Tigweg Correcteurre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 22:06

Rebonjour tout le monde.

Kevin> Laisser stables toutes les paires 4$\{i;j\} n'implique que 4$\sigma(i)=i que s'il existe un troisième larron 4$k\notin\{i;j\} , ceci afin de pouvoir appliquer l'hypothèse à la paire 4$\{i;k\}.


D'ailleurs dans ton message de 18h15, pour le sens trivial, tu as implicitement supposé que seule la transposition 4$(i;j) fixe la paire 4$\{i;j\}.

Posté par
infophilere : Signature d'une permutation 24-04-08 à 22:42

Je ne comprends pas, laisser stable c'est quand i et j ne change pas de place non ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 22:54

Non, un ensemble A est stable si l'image de tout x de A est encore dans A.

Ainsi, la paire 4$\{i;j\} est stable ssi i et j sont invariants ou si i a pour image j et si j a pour image i (Il n'y a pas d'autre possibilité ici puisque 4$\sigma est une bijection.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Signature d'une permutation 24-04-08 à 22:54

C'est la différence entre un ensemble globalement invariant et un ensemble invariant point par point.

Posté par
infophilere : Signature d'une permutation 24-04-08 à 23:34

Rah oué j'suis trop un boulet -_-'

Merci Greg

Posté par
Tigweg Correcteurre : Signature d'une permutation 25-04-08 à 00:04

Meuh non, c'est juste une erreur d'inattention ça Kevin!

Avec plaisir!

Posté par
Cauchyre : Signature d'une permutation 25-04-08 à 00:57

Et oui t'es un boulet(m'enfin c'est juste un problème de vocabulaire ).

Posté par
infophilere : Signature d'une permutation 25-04-08 à 01:09


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