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signature d'une quadratique positive
Salut a tous.
Je suis bloque dans cet exercice.
Soit AMn,p(R).
1/ Montrer que est la matrice d'une forme quadratique positive sur Rp
2/Determiner sa signature en fonction de rang de A.
pour 1/ il me reste de montrer la positivite et 2/ je ne sais pas le resultat.
Merci d'avance pour votre aide.
Salut these.
Utilise que pour tout vecteur colonne X, on a:
q(X)=tX.(tA.A).X, puis que A.X est un vecteur colonne, à multiplier à droite par le vecteur ligne associé, puis observe que le résultat est un carré, donc un nombre positif.
Que peut-on en déduire?
q(x)=(norm(AX))^2 -> Oui c'est juste.
Est ce qu'on a q est positive ssi q(X)>=0 pour tout X???
->Exactement!C'est d'ailleurs l'objet de ton post d'hier (s=0 si et seulement si q est définie positive), ou plutôt du résultat analogue:
q est positive ssi la signature de q est (r,0).
Pour 2) je n'ai pas encore réfléchi, je suis sur d'autres topics en même temps.
OK,je l'ai!
La forme étant positive, il y a identité entre son noyau et son cône isotrope.
Ainsi, .
D'où:
Sauf erreur bien sûr!
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