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Simplier une (grosse) expression d'un polynôme.

Posté par
ChazyChaz 28-01-09 à 20:24

Bonjour à tous.

Je dois exprimer simplement les polynômes P et Q suivant :

4$ P = \Bigsum_{0\le2k\le n}\(n\\2k\)X^{2k}(1-X)^{n-2k}        4$ Q = \Bigsum_{0\le2k+1\le n}\(n\\2k+1\)X^{2k+1}(1-X)^{n-2k-1}

Avec comme indication de calculer P+Q et P-Q

J'ai calculé P + Q, comme P est la somme sur des indices pairs, et Q est la somme sur des indices impairs, si on ajoute les deux, alors on trouve en passant par le binôme :

4$ P + Q = \Bigsum_{0\le k\le n}\(n\\k\)X^{k}(1-X)^{n-k} = 1  

Mais hélas, pas moyen de trouver comment calculer P - Q
J'ai essayé de faire des simplifications télescopiques, ou des changements d'indices de sommation, mais je ne parviens à rien.

Si vous pouviez m'aider, ce serait gentil, merci d'avance à tous ceux qui liront ce message

Posté par
fade2blackre : Simplier une (grosse) expression d'un polynôme. 28-01-09 à 20:48

Salut !

P-Q = ...(X)^2k... - ...X^(2k+1)... = ...(-X)^2k... + ...(-X)^(2k+1)...

Ca devrait marcher...

Posté par
ChazyChazre : Simplier une (grosse) expression d'un polynôme. 28-01-09 à 21:09

Bonsoir.
Tou d'abord merci de votre coup de pouce!
Suite à votre indication, voilà ce que je trouve :

4$ P - Q = \Bigsum_{0\le 2k\le n}\(n\\2k\)X^{2k}(1-X)^{n-2k}     4$-    4$ \Bigsum_{0\le 2k+1\le n}\(n\\2k+1\)X^{2k+1}(1-X)^{n-2k-1}

=

4$\Bigsum_{0\le 2k\le n}\(n\\2k\)(-X)^{2k}(1-X)^{n-2k}     4$+    4$ \Bigsum_{0\le 2k+1\le n}\(n\\2k+1\)(-X)^{2k+1}(1-X)^{n-2k-1}

=

4$\Bigsum_{0\le k\le n}\(n\\2k\)(-X)^{k}(1-X)^{n-k}


=

4$ (-X+1-X)^n

=

\blue \fbox{4$ (1-2X)^n}



Merci de me dire si c'est la bonne réponse

Posté par
fade2blackre : Simplier une (grosse) expression d'un polynôme. 28-01-09 à 21:19

Je trouve ça aussi, ça doit être bon alors

Posté par
fade2blackre : Simplier une (grosse) expression d'un polynôme. 28-01-09 à 21:20

Hum non en fait, il y a des problèmes d'indices.

Posté par
fade2blackre : Simplier une (grosse) expression d'un polynôme. 28-01-09 à 21:22

Non en fait c'est bon, pardon ^^

Posté par
ChazyChazre : Simplier une (grosse) expression d'un polynôme. 28-01-09 à 21:28

Ouf, l'espace d'un instant j'ai eu une sueur froide en me disant que tout ces gros calculs étaient faux , mais finalement si vous trouvez la même chose que moi, cela doit être le bon résultat !
Merci donc de votre aide

Posté par
fade2blackre : Simplier une (grosse) expression d'un polynôme. 28-01-09 à 21:32

Avec plaisir !

Bonne soirée


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