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simplification de facteurs de sin

Posté par
lolore1 25-09-11 à 15:55

Bonjour,
voilà je bloque sur une question de mon dm de maths
tout d'abord, on nous a demandé dans les 1ères questions de démontrer que :
P(z) = z2n - 2zncos + 1 = \prod_{k=o}^{n-1} [z² - 2zcos(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}) +1]

donc ça j'ai réussi mais après on nous dit : en prenant z=1, en déduire que si n'est pas multiple de alors :
\prod_{k=o}^{n-1} sin²(\frac{\alpha}{n} + \frac{k\pi}{n})= \frac{sin²(\frac{\alpha}{2})}{4^{n-1}sin²(\frac{\alpha}{2n})} donc là j'arrive à me ramener à l'expression p(1) \frac{1}{4}  mais après je suis bloquée
quelqu'un peut-il m'aider svp???

Posté par
cailloux Correcteurre : simplification de facteurs de sin 25-09-11 à 16:56

Bonjour,

Une formule de trigonométrie utile ici:

\sin^2a=\dfrac{1-\cos\,2a}{2}

Posté par
lolore1re : simplification de facteurs de sin 25-09-11 à 21:12

oui je sais ça me donne ensuite \frac{1}{4}\prod_{k=1}^{n-1} (2 - 2cos(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n})) ce qui fait P(1) mais après je suis bloquée

Posté par
cailloux Correcteurre : simplification de facteurs de sin 26-09-11 à 00:02

Je n' obtiens pas tout à fait le même résultat que dans ton poste initial:

P_{\alpha}(1)=2(1-\cos\,\alpha )=\prod_{k=0}^{n-1}2\left[1-\cos\,\left(\dfrac{\alpha}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}\right)\right]

\prod_{k=0}^{n-1}4\,\sin^2\left(\dfrac{\alpha}{2n}+\dfrac{k\pi}{n}\right)=4\,\sin^2\dfrac{\alpha}{2}

4^n\sin^2\dfrac{\alpha}{2n}\,\prod_{k=1}^{n-1}\sin^2\left(\dfrac{\alpha}{2n}+\dfrac{k\pi}{n}\right)=4\,\sin^2\dfrac{\alpha}{2}

\prod_{k=1}^{n-1}\sin^2\left(\dfrac{\alpha}{2n}+\dfrac{k\pi}{n}\right)=\dfrac{\sin^2\dfrac{\alpha}{2}}{4^{n-1}\sin^2\dfrac{\alpha}{2n}}

Posté par
lolore1re : simplification de facteurs de sin 26-09-11 à 21:06

c'est bon, merci bcp cailloux!!!

Posté par
cailloux Correcteurre : simplification de facteurs de sin 26-09-11 à 22:32


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