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solution d'une équation !?

Posté par
rydenser 10-09-09 à 16:33

Bonjour ,

Certaines question de cet exercice me gène ,

je ne comprends pas comment trouver l'inconnu z de cette équation :

1) (z-i)^n (i+cotan(pi x)) + (z+i)^n (i-cotan(pi x)) = 0

je bloque ici mais je pense que ma méthode est mauvaise

(i+cotan(pix))/(i-cotan(xpi)) = -(z+i)^n/(z-i)^n

2)quel est le coefficient z^n ds le 1er membre de cet équation ? trouver une factorisation de ce 1er membre.


Posté par
Camélia Correcteurre : solution d'une équation !? 10-09-09 à 16:38

Bonjour

Pose Z=(z+i)/(z-i). L'équation devient

Z^n=\frac{cotan(\pi x)+i}{cotan (\pi x)-i}

Mets le second membre sous forme trigonométrique... (Il y a à discuter sur x puisque on a fait une division)

Posté par
rydenserre : solution d'une équation !? 10-09-09 à 17:04

sa fait z = e^((i 2 pi) / n)

mais je ne vois pas comment utiliser ce résultat

Posté par
rydenserre : solution d'une équation !? 10-09-09 à 17:11

je voulais dire  z = e^((i 2 pi x) / n)

Posté par
Camélia Correcteurre : solution d'une équation !? 10-09-09 à 17:26

Non, il y a d'autres racines. Après tu peux sortir z de Z=\frac{z-i}{z+i}, non?

Posté par
rydenserre : solution d'une équation !? 10-09-09 à 18:07

dsl , mais je ne vois pas vraiment comment faire , sa fait plusieurs jours que je bloque à cause de cette question ...

Posté par
rydenserre : solution d'une équation !? 10-09-09 à 20:35

Posté par
Camélia Correcteurre : solution d'une équation !? 11-09-09 à 14:21

\frac{cotan(\pi x)+i}{cotan(\pi x)-i}=\frac{\cos(\pi x)+i\sin(\pi x)}{\cos(\pi x)-i\sin(\pi x)}=e^{2i\pi x}

Les solutions en Z sont donc Z_k=e^{(2i\pi x+2k\pi)/n} pour 0\leq k < n-1.

Reste à résoudre \frac{z-i}{z+i}=Z_k

z-i=Z_k(z+i)

z(Z_k-1)=-i(Z_k+1)

et là tu peux quand même finir!

Posté par
rydenserre : solution d'une équation !? 12-09-09 à 15:21

z = (-i e^((2i pi x )/n) - i ) / ( e^((2i pi x)/n) - 1 )


je ne suis pas sur de moi , car je n ai pas remis le 2kpi , est ce important ....

Posté par
Camélia Correcteurre : solution d'une équation !? 12-09-09 à 15:30

Evidemment que c'est important! Il y a n solutions différentes!

Posté par
rydenserre : solution d'une équation !? 12-09-09 à 15:40

ok , donc la bonne solution est


z = (-i e^((2i pi x + 2k pi )/n) - i ) / ( e^((2i pi x + 2kpi)/n) - 1 )

merci de l'aide


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