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Somme de polynômes

Posté par
infophile 26-05-08 à 20:23

Bonjour

Citation :
Soit 3$ \rm n+1 réels 3$ \rm t_0,...,t_n deux à deux distincts.

Je dois calculer 3$ \rm \Bigsum_{i=0}^{n}t_i^{n+1}L_i(0) et 3$ \rm \Bigsum_{i=0}^{n}t_i^{n+2}L_i(0) avec 3$ \rm L_i les polynômes de Lagrange.


Un coup d'pouce ?

Merci !

Posté par
Nightmarere : Somme de polynômes 26-05-08 à 21:01

Salut

Les polynômes de Lagrange de quoi?

Posté par
infophilere : Somme de polynômes 26-05-08 à 21:03

Salut

Associés à ces n+1 réels.

Posté par
Nightmarere : Somme de polynômes 26-05-08 à 21:07

D'accord

La première idée pour moi est de considérer 3$\rm P=\Bigprod_{i=0}^{n} (X-t_{i}) et 3$\rm A=X^{n+1}

Le reste de la division de A par P est 3$\rm \Bigsum_{i=0}^{n} t_{i}^{n+1} L_{i} (magie )

Il suffit donc de trouver le reste de la division de A par P !

Posté par
infophilere : Somme de polynômes 26-05-08 à 21:19

Hum 3$ \rm P(X)=A(X).Q(X)+R(X) et puisque 3$ \rm P et 3$ \rm A sont unitaires de même degré on a 3$ \rm Q=1 et donc 3$ \rm R(X)=P(X)-A(X)=\Bigprod_{i=0}^{n}(X-t_i)-X^{n+1}.

Juste ?

Posté par
Nightmarere : Somme de polynômes 26-05-08 à 21:22

Oui

Et donc en zéro ça devient facile !

Posté par
infophilere : Somme de polynômes 26-05-08 à 21:25

On obtient 3$ \rm \Bigsum_{i=0}^{n}t_i^{n+1}L_i(0)=(-1)^{n+1}\Bigprod_{i=0}^{n}t_i

Me reste à voir d'où vient le tour de magie avant de traiter l'autre somme.

Posté par
Nightmarere : Somme de polynômes 26-05-08 à 21:27

Oui, c'est le plus délicat, mais ce n'est pas dur. Si tu as besoin d'un indice n'hésite pas!

Posté par
infophilere : Somme de polynômes 26-05-08 à 21:35

Je vais y réfléchir demain en français, et pour l'autre somme on fait pareil en prenant P le produit jusqu'à n+1 et A le monôme de degré n+2 ?

Posté par
Nightmarere : Somme de polynômes 26-05-08 à 21:40

Non c'est un peu plus délicat, car P va toujours jusqu'à n (sinon on aura un problème de définition des ti !). On prend bien A=Xn+2 cependant. Il y aura un peu plus de travail pour la division.

Posté par
infophilere : Somme de polynômes 26-05-08 à 21:41

Ok je vais essayer de voir ça, j'te remercie !

Je repasse en cas de pépin, bonne soirée !

Posté par
Nightmarere : Somme de polynômes 26-05-08 à 21:45

Je t'en prie

Posté par
infophilere : Somme de polynômes 29-05-08 à 06:37

Un indice ?

Posté par
jeansebre : Somme de polynômes 29-05-08 à 11:07

Bonjour Kevin et Jordan

C'est un plaisir de vous voir dialoguer...

Vous êtes vraiment très forts!

Posté par
Nightmarere : Somme de polynômes 29-05-08 à 11:25

Salut jeanseb

Pourquoi tant d'éloge subitement ...

Posté par
robby3re : Somme de polynômes 29-05-08 à 11:27

Citation :
Vous êtes vraiment très forts!

>c'est ce que je me suis aussi dit en lisant ce topic

Bonne journée à tous!

Posté par
infophilere : Somme de polynômes 29-05-08 à 12:58

Bonjour à tous !

Jord > Pour les 3$ \rm k\in [1,n] j'ai utilisé le fait que tout polynôme 3$ \rm P de degré n peut s'écrire 3$ \rm P(X)=\Bigsum_{i=0}^{n}P(t_i)L_i(X) et en prenant 3$ \rm P(X)=X^k et en évaluant en 0 on trouve une somme nulle.

Il y aurait pas un peu de ça dans ton tour de magie ?

Je file en info..

Posté par
infophilere : Somme de polynômes 29-05-08 à 17:25

Up

Posté par
infophilere : Somme de polynômes 29-05-08 à 20:54

Up bis

Posté par
infophilere : Somme de polynômes 30-05-08 à 06:33

Up pour les matinaux

Posté par
infophilere : Somme de polynômes 30-05-08 à 20:10

Ok c'est bien ce que je pensais, il fallait utiliser la décomposition sur la base des polynômes de Lagrange, mais de P-A.

Bonne soirée

Posté par
infophilere : Somme de polynômes 31-05-08 à 20:16

Juste pour vérifier, Jord, tu trouves comme moi ?

3$ \rm \Bigsum_{i=0}^{n}t_i^{n+2}L_i(0)=(-1)^{n+1}\Bigsum_{j=0}^{n}t_j\prod_{i=0}^{n}t_i

J'ai été un peu bourrin, j'ai appliqué la décomposition au polynôme 3$ \rm A(X)-XP(X)+\(\Bigsum_{j=0}^{n}t_j\)X^{n+1}

Sauf erreur il est de degré au plus n.

Posté par
infophilere : Somme de polynômes 31-05-08 à 20:51

Petite erreur de signe, c'est un - devant la parenthèse.

A+


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