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Somme de sinus
Bonjour a tous,
Voila je suis en MPSI, et j'ai un exercice de maths a faire. Malheureusement, je bloque et n'arrives pas a terminer cette exercice.
Je dois calculer :
Σ (k=0 à n) sin²(kx) avec x réel quelconque.
J'ai commencé en transformant cette somme:
Σ sin²(kx)= -1/2Σ cos(2kx) + (n+1)/2
Je pose ensuite C = Σcos(2kx) et S = Σsin(2kx) et Z = C + iS
En calculant Z, je trouve Z = Σ (e^i2x)^k. Donc c'est la somme des termes d'une suite géométriques de raison e^i2x.
Maintenant, si e^i2x = 1, je n'ai aucun problème pour calculer Z, et ainsi trouver C étant la partie réelle de Z.
Mais si e^i2x ≠ 1. Je me retrouve donc avec la formule de la somme d'une suite géométrique:
Z = [1-(e^i2x)^n+1]/[1-(e^i2x)].
Et malheureusement, je suis bloqué ici, je n'arrives pas à venir à bout de ce calcul.
Si vous pouviez me donner des pistes, pour réussir à la calculer, et ainsi trouver C, je vous en serais très reconnaissant.
Merci d'avance, je suis à votre disposition si vous avez besoin de précision, ou si je me suis mal exprimé.
Bienvenue sur l'île, en général, il faut factoriser par ei(
+
)/2
Avec = ce qui est dans l'exponentielle 1 ou 2
et idem.
Ici par exemple, =0 et =2xn+2x en haut
(+)/2 = eix(n+1)
Merci pour vos réponses très rapides.
Il est vrai que l'on avait vu cela en cours, j'ai essaye de le refaire mais en vain. Avec vos deux explications je pense pouvoir avancer.
Je vais tenter d'appliquer votre méthode et vous recontactes si je rencontre un problème.
Merci bien pour vos reponses.
Alors en mettant en facteur ce que vous m'avez dit j'obtiens ceci:
Z = e^(inx) x [ sin(n+1)x)) / sin x ]
Donc C = cos (nx) x [ sin(n+1)x)) / sin x ].
En revenant au calcul du debut :
Σ sin²(kx)= -1/2Σ cos(2kx) + (n+1)/2
Σ sin²(kx)= -1/2 x cos (nx) x [ sin(n+1)x)) / sin x ] + (n+1)/2
Alors est ce que je dois simplifier plus, ou ce resultat est il suffisant ?
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