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Somme des sin(kPi/n)

Posté par
CHRIS66 24-09-11 à 17:34

bonjour j ai un dm à rendre pour demain et je vous demande de l'aide car je n'ai vraiment aucune piste sur cet exercice.
Voici l'énoncé:
Calculer A=sin(k/n)   de k=1 à n-1
On pourra utiliser le polynome p(X)=(Xn-1)/(X-1)

J'ai d'abord pensé à passer sous forme exponentielle mais je ne vois pas comment.
S'il-vous-plait aidez moi au plus vite
Merci d'avance.

Posté par
Porcepicre : Somme des sin(kPi/n) 24-09-11 à 18:05

Bonsoir,

Remarque que \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\mathfrak{Im}\left({\rm e}^{i\frac{k\pi}{n}}\right).

Ta somme est donc la somme des parties imaginaires de ces exponentielles... qui est la partie imaginaire de la somme des exponentielles... autrement dit la partie imaginaire de la somme des termes d'une suite géométrique de raison ....

Ensuite, tu devrais pouvoir essayer de simplifier un peu tout ça avec les formules d'Euler éventuellement...

NB : Tu peux commencer à sommer à k=0, ça devrait simplifier les calculs (sans rien changer puisque pour k=0 ton sinus est nul).

Posté par
CHRIS66re : Somme des sin(kPi/n) 24-09-11 à 18:20

Merci porcepic
j obtiens maintenant A=Im(1+ei/n+e2i/n+...+e(n-1)i/n)
je ne peux pas utiliser le fait que c est la somme des racines n-iemes de l unité??
Merci d avance

Posté par
Porcepicre : Somme des sin(kPi/n) 24-09-11 à 18:26

Ce ne sont pas les racines de l'unité que tu as là : les racines de l'unité sont de la forme {\rm e}^{2ik\pi/n} et non {\rm e}^{ik\pi/n}.

Posté par
CHRIS66re : Somme des sin(kPi/n) 24-09-11 à 18:33

Ah oui j'avais pas remarqué ce détail
mais alors comment on peut faire
J'ai essayé avec des factorisations et des formules d'euler  mais je n'aboutis pas
Je trouve que ca donne Im(ei/2n(2cos(/2n))+e3i/n2cos(/n)+e7i/n2cos(/n))
merci de votre aide

Posté par
Porcepicre : Somme des sin(kPi/n) 24-09-11 à 18:44

Normalement tu dois reconnaître une somme des termes d'une suite géométrique. Quelle est cette suite ? En particulier, quelle est sa raison ?
Et comme cette raison est différente de 1, on peut utiliser la formule bien connue et obtenir une expression déjà relativement simple de la forme P(machin).

Et une fois qu'on aura quelque chose de cette forme on essayera de simplifier encore un peu, mais pas avant...

Posté par
CHRIS66re : Somme des sin(kPi/n) 24-09-11 à 21:36

merci de ton aide Porcepic
Si j'ai bien compris on a 1+(ei/n)+(ei/n)2+(ei/n)3+...+(ei/n)n-1 qui est la somme géométrique de raison ei/n
Et donc on a A=Im((ei-1)/(ei/n-1))=Im(-2/(ei/2n(2cos(/2n))))
Alors A=0 car -2 n'a pas de partie imaginaire c'est ca non??

Posté par
Porcepicre : Somme des sin(kPi/n) 24-09-11 à 22:07

On a bien A=\mathfrak{Im}\left(\frac{2}{1-{\rm e}^{i\pi/n}}\right).

En revanche, je ne vois pas trop comment tu fais la suite.
D'après les formules d'Euler, on a :

\frac{1-{\rm e}^{i\pi/n}}{2}=-e^{i\pi/2n}\cdot i\cdot\frac{e^{i\pi/2n}-e^{-i\pi/2n}}{2i}=-i\cdot e^{i\pi/2n}\sin\frac{\pi}{2n}.

Donc A=\mathfrak{Im}\left(\frac{2}{1-{\rm e}^{i\pi/n}}\right)=\mathfrak{Im}\left(\frac{1}{-i\cdot e^{i\pi/2n}\sin\frac{\pi}{2n}}\right)=\mathfrak{Im}\left(\frac{i\cdot e^{-i\pi/2n}}{\sin\frac{\pi}{2n}}\right)=...

Sauf erreur.

Posté par
CHRIS66re : Somme des sin(kPi/n) 24-09-11 à 22:56

Merci beaucoup porcepic. Finalement j'ai trouvé que A=1
Encore merci et à bientot

Posté par
Porcepicre : Somme des sin(kPi/n) 24-09-11 à 23:01

Tu es sûr ? Y a un i en facteur, donc pour obtenir la partie imaginaire de ce nombre, il faut garder la partie réelle de l'exp.

Posté par
CHRIS66re : Somme des sin(kPi/n) 24-09-11 à 23:06

Je suis pas sur a 100% mais a la fin de mes calculs j arrive à A=Im((icos(/2n)+sin(/2n))1/(sin/2n) d'ou A=sin/sin=1
Après c'est peut être faux quelque part
en tout cas merci de ton aide

Posté par
Porcepicre : Somme des sin(kPi/n) 24-09-11 à 23:12

Attention, on prend la partie imaginaire... là tu prends la partie réelle.

Posté par
CHRIS66re : Somme des sin(kPi/n) 24-09-11 à 23:14

Ah oui merci de me le faire remarquer
Encore une de mes erreurs d'innatention
Alors on a A=cos/sin

Posté par
Porcepicre : Somme des sin(kPi/n) 24-09-11 à 23:16

A priori c'est mieux, en effet.

Posté par
CHRIS66re : Somme des sin(kPi/n) 24-09-11 à 23:17

Merci beaucoup de ton aide
A bientot

Posté par
Porcepicre : Somme des sin(kPi/n) 24-09-11 à 23:24

À bientôt et bonne soirée.


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