Niveau école ingénieur

somme directe d'espaces vectoriels

Posté par
tac_15 05-06-09 à 00:08

Bonsoir, je n'arrive pas à répondre à la question suivante :

Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E, tel que f²=IdE. Un tel endomorphisme est dit involutif. Posons E1=Ker(f-IdE) et E2=Ker(f+IdE).

Montrer que E1 + E2 = E (somme directe).

Il faut donc montrer que E1 intersection E2 est réduit à zéro.
Ensuite que pour tout vecteur u appartenant à E il existe u1 appartenant à E1 et u2 appartenant çà E2 tels que u= u1 + u2

Je n'arrive pas à faire ceci.

Pouvez vous m'aider ? Merci d'avance.

Posté par re : somme directe d'espaces vectoriels 05-06-09 à 00:09

dsl : simple test d'écriture.

H[sub][/sub]e

Posté par re : somme directe d'espaces vectoriels 05-06-09 à 01:05

Bonjour insaien(ne)

Voici ce que j'ai fait pour montrer que $E=E_1+E_2$ (pour montrer que leur intersection est réduite à zéro, il suffit de considérer un élément de l'intersection et de montrer qu'il vaut $0_E$ )

Tout d'abord on cherche à quoi ressemblent a et b:

Soit $x\in E$ tq $x=a+b$ avec $a\in E_1$ et $b\in E_2$

$f(x)=f(a)+f(b) \\ f(x)=a-b$

car $a\in E_1$ donc $f(a)-a=0$ (idem pour b, mais dans $E_2$ )

On a donc $x=a+b$ et $f(x)=a-b$ , il vient donc $a=\fr{1}{2}(x+f(x))$ et $b=\fr{1}{2}(x-f(x)$ )

Pour le montrer, aprés avoir intuité ci-dessus à quoi doit ressembler a et b je fait ça:

$\overb{\fr{1}{2}(x+f(x))}^{a}+\overb{\fr{1}{2}(x-f(x))}^{b}=x$

En se servant du fait que $f^2=Id_E$

$f(a)=f(\fr{1}{2}(x+f(x))=a \\ f(b)=f(\fr{1}{2}(x-f(x))=-b$

Soit $a\in E_1$ et $b\in E_2$

Je te laisse conclure.

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