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Somme directe de 3 sev
Bonjour à tous ! Un petit exercice m'ennuie : je débute sur les sommes de plus de deux sev et je ne sais pas trop comment m'y prendre malgré mon cours. Je vous soumets mon petit exercice :
Soit E le C.e.v. des applications de C dans C.
On note :
F_1 = {f appartenant à E tel que : pour tout complexe z, f(jz) = f(z)}
F_2 = {f appartenant à E tel que : pour tout complexe z, f(jz) = jf(z)}
F_3 = {f appartenant à E tel que : pour tout complexe z, f(jz) = j²f(z)}
Montrer que F_1 
F_2 F_3.
Merci de votre aide 
Pour ne pas avoir à mettre des indices je pose U = F1 , V = F2 , W = F3 .
Il t'est demandé de prouver que l'application S de U
VW dans E qui à (u,v,w) associee u + v + w est bijective .
Si (u,v,w) 
UVW , f = S(u,v,w) et z 
on a :
f(z) = u(z) + v(z) + w(z) et
f(jz) = u(z) + jv(z) + j2w(z) et
f(j2z) = u(z) + j2v(z) + j4w(z)
On doit pouvoir en déduire (sans trop de douleur) l'expression de u(z) , v(z) et w(z) en foction de f et z du genre af(z) + bf(jz) + c f(j2z) pour chacune.
Tu poses T(f) = (.,.,.) (ce que tu viens de trouver et vérifies que S o T = IdE et T o S = IdUVW
Bonsoir,
On montre ainsi que l'application S est injective mais elle n'est pas surjective (une somme directe n'est pas en général égale à l'espace entier).
Bonjour.
On montre facilement que ces trois ensemble sont des e.v. Ensuite on montre aussi facilement qu'ils sont en somme directe en montrant que si f appartient à l'intersection de deux d'entre eux, f est nulle.
Jandri bonjour ,
Je reprends ma démonstration d'hier .
Je pourrais dire que le système que j'ai écrit prouve que "S(u,v,w) = f" équivaut à "(u,v,w) = T(f)" (où T(f) .....)
Si ce n'est pas prouver que T est bijective ......
Les formules pour T :
Pour f E et z je pose A(f)(z) = (f(z) + f(jz) + f(j2z))/3 , B(f)(z) = (f(z) + j2(f(jz) + jf(j2z))/3 , C(z) = (f(z) + jf(jz) + j2f(j2z))/3 et T(f)(z) = (A(f)(z) , B(f)(z) , C(f)(z)) .
On vérifie que T est linéaire (facile) , que T(f) U V W (facile mais " calculatoire") , que S o T = IdE et T o S = IdUVW (tout aussi calculatoire)
amauryxiv2 bonjour
Tu as raison mais puisque leur somme UVW = E , pouquoi ne pas le dire ?
Bonjour,
kybjm, tu as entièrement raison: j'ai lu un peu trop vite ce que tu avais écrit; comme l'énoncé demandait seulement de montrer que la somme est directe, je n'ai pas cherché à montrer que S est surjective. S est bien une bijection et on a bien UVW = E.
amauryxiv2, tu fais une erreur: montrer que les intersections deux à deux son égales à {0} ne prouve pas que la somme est directe quand il y a trois sous-espaces ou davantage; c'est seulement pour deux sous-espaces que la condition F
G={0} entraine que la somme F+G est directe.
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