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somme directe de sous espaces vectoriels
(re)bonsoir
thérème: pour que deux sev F1,F2 d'un k_espace vectoriel E soient en somme directe , il faut et il suffit que tout élément de F1+F2 se décompose d'une facon unique en somme d'un élément de F1 et d'un élément de F2.
une partie de la démonstration est(dans un sens en fait):
supposons que tout élément de F1+F2 se décompose de facon unique sur F1 et F2. soit x appartenant à l'intersection de F1 et F2.on dispose de deux décompositions de 0 sur F1 et F2:
0=0+0 et 0=x+(-x), d'où x=0.
ainsi l'intersection de F1 et F2 est {Oe} et ils sont en somme directe.
je ne comprends pas cette partie de la démonstration. notemment avec la double décomposition de 0, son rapport avec le reste...
Relis la définition de la somme directe : l'intersection de F1 et F2 doit être réduite au vecteur nul. C'est bien exactement ce que prouve la démonstration que tu recopies: si x est dans l'intersection, c'est le vecteur nul, sinon Le vecteur nul aurait deux décompositions: 0 + 0 et x + (-x) .
Bonsoir,
en fait, pour dire que la somme est direct il faut juste vérifier que F1
F2={0}, ce qu'on obtient par la décomposition de 0 car si x
F1F2 -x aussi, mais en particulier xF1, -xF2 et 0+0=0=x+(-x) on identifie x et -x par unicité de la decomposition.
en fait c'est une sorte de raisonement par l'absurde?
x appartenant à l'intersection est une somme de F1+F2? mais pourquoi si si x appartient à F1, -x appartient à F2?
re-bonsoir.
Encore une fois, tu ne maîtrise pas les définitions :
Définition : E et F, deux sev, sont en somme directe si leur intersection est réduite au vecteur nul
Théorème : E et F sont en somme directe 
tout élément de E+F se décompose de façon unique en somme d'un vecteur de E et un vecteur de F
Démonstration :
Si un vecteur u de E+F se décompose de deux façons : u=v+w=v'+w' avec v, v'E et w,w'F
alors v-v'=w'-w avec v-v'E et w'-wF
ces deux vecteurs étant égaux, ils sont donc dans E
F, qui par hypothèse ne contient que O
donc v-v'=w'-w=0 et donc v=v' et w=w', ce qui prouve l'unicité
réciproque :
si u est un vecteur de EF, uE et (-u)F
et on a aussi 0E et 0F
le vecteur nul de l'espace s'écrit donc sous deux formes comme somme d'un vecteur de E et d'un vecteur de F : 0=0+0=u+(-u)
Par hypothèse, ces deux décompositions sont les mêmes et donc u=0 (et -u0 mais cela est redondant)
Fin de démonstration.
Alain
pour ce qui est de ta remarque sur le type de raisonnement, ce n'est pas à proprement parler un raisonnement par l'absurde... car on n'aboutit pas à une contradiction.
C'es courant en math : pour montrer une unicité, on suppose qu'il y en a 2 et on montre que c'est la même.
C'est plutôt un raisonnement par contraposé :
NON unique il en existe deux différentes
Contraposée :
Quelles que soient deux, ce sont les même unique
Alain
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