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sommes et Pascal

Posté par
benji 07-11-09 à 13:51

Bonjour à tous,

J'ai un problème à résoudre et je n'arrive pas à déduire une relation, voici l'énoncé:

1) n ,
        n
bn = (nk)ak
       k=0

(a) Mq : 0 j k n,
    on a (nk) (kj) = (nj) (n-j k-j)

Donc en passant toutes les combinaisons sous forme de factoriel on y arrive aisément mais :

(b) En déduire que :
n ,
           n
    an = (-1)n-k(nk)bk
          k=0

En fait je ne vois pas comment je peux déduire des combinaisons précédentes l'expression si dessus, sinon on à bk et on a l'expression de bn pourrait-on trouver un lien?

Merci à tous.

Posté par
amauryxiv2re : sommes et Pascal 07-11-09 à 14:41

peut peux tu écrire bn = b0 + bk - bk-1 ?

Posté par
benjire : sommes et Pascal 07-11-09 à 14:50

oui c'est le principe des sommes télescopique Non?

mais la propriété est:
  n
(ak - ak+1) = a0 - an+1
k=0

Posté par
amauryxiv2re : sommes et Pascal 07-11-09 à 14:56

Oui autant pour moi. J'ai inversé an et bn. Mais l'idée est là. Et oui c'est une technique classique, c'est ça qui m'en a donné l'idée. En suite je pense que remanier l'égalité du a) parmet de simplifier des soustractions.

Posté par
H_aldnoerre : sommes et Pascal 07-11-09 à 14:57

Je vous dit ce que j'ai fait, mais ça n'a pas aboutit. On veut montrer que \Large \Bigsum_{p=0}^n(-1)^{n+p}\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}b_p = a_n (j'ai juste changé la variable k en p, mais ça ne change rien, c'est une variable "muette")

On a \Large \Bigsum_{p=0}^n(-1)^{n+p}\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}b_p = \Bigsum_{p=0}^n(-1)^{n+p}\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}\Bigsum_{k=0}^p\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}a_k , car \Large b_p = \Bigsum_{k=0}^p\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}a_k par définition.

Mais \Large \Bigsum_{p=0}^n(-1)^{n+p}\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}\Bigsum_{k=0}^p\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}a_k = \Bigsum_{p=0}^n\Bigsum_{k=0}^p(-1)^{n+p}\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}a_k

En utilisant le premier résultat, on a \Large \begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n-k\\p-k\end{pmatrix}.

D'où \Large \Bigsum_{p=0}^n(-1)^{n+p}\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}\Bigsum_{k=0}^p\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}a_k = \Bigsum_{p=0}^n\Bigsum_{k=0}^p(-1)^{n+p}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n-k\\p-k\end{pmatrix}a_k.

Et ici, je suis resté bloqué ...
:/

Posté par
benjire : sommes et Pascal 07-11-09 à 15:13

Je ne comprends pas comment utiliser les sommes télescopiques ici.
ici se ne serait pas plutôt:
    
   an = a0 + (ak-1 - ak)

comme sa : (ak-1 - ak) = bn - b0
mais je ne vois pas à quoi cela pourrait il me servir

Et pour H_aldnoer, peut on partir de ce qu'il faut démontrer pour arriver à un résultat?

Posté par
H_aldnoerre : sommes et Pascal 07-11-09 à 15:17

On veut prouver une égalité, donc que tu partes de l'un ou l'autre des deux membres de ton égalité ... Mais bon ça me parait beaucoup plus naturelle de partir de la somme pour retomber sur an.

Posté par
H_aldnoerre : sommes et Pascal 07-11-09 à 15:18

Mais je crois qu'il y a une histoire d'inversion des sommes finies. Je ne sais plus trop.

Posté par
benjire : sommes et Pascal 07-11-09 à 15:21

Oui mais on calcul la somme d'accord
mais on doit s'attendre à trouver quoi à la fin?

en fait si je te suis bien avec tous ces calculs, on devrai retomber sur an tous simplement?

Posté par
H_aldnoerre : sommes et Pascal 07-11-09 à 15:21

Oui.


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