Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Sommes trignonometrique du type cos(kx+y)

Posté par
olsapass 30-06-09 à 20:20

Bonjour
  
  Je voudrais vérifier mon résultat :

  Enoncé :  Calculer   :

Soit x,y appartenant à et n à
  
     n
     cos(kx+y)
    k=0

Je trouve après etude de la partie reelle de ei(kx+y) avec la somme d'une suite geometrique de raison eix , puis avec l'utilisation de "l'angle moitié" et enfin en reconnaissant les expression du sinus et du cos :

       sin((n+1)*x/2) cos(n*x/2)
       _______________________
             sin(x/2}
    

Posté par
girdavre : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) 30-06-09 à 20:58

Bonsoir.
Je crois que vous avez oublié le e^{iy} car le résultat annoncé ne dépend pas de y.

Posté par
matovitchre : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) 30-06-09 à 21:05

Bonsoir !
Si ça peut t'aider, je trouve :

\fr{cos(y)+cos((n-1)x+y)-cos(nx+y)-cos(y-x)}{2-2cos(x)}

Posté par
J-Rre : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) 30-06-09 à 21:11

bonjour,

OU:

pb=cos(y)\bigsum_{k=0}^ncos(kx)-sin(y)\bigsum_{k=0}^nsin(kx)

or sin(k/2)\bigsum_{k=0}^ncos(kx)=\frac{1}{2}\bigsum_{k=0}^n(sin(\frac{2k+1}{2}x)-sin(\frac{2k-1}{2}x)) = ....

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) 30-06-09 à 21:34

JR >> : je suppose que tu as voulu écrire 4$\fbox{sin(\frac{x}{2})\Bigsum_{k=0}^{n}cos(kx)=\frac{1}{2}\Bigsum_{k=0}^{n}sin(\frac{2k+1}{2}x)-sin(\frac{2k-1}{2}x)}

et par téléscopie 4$\fbox{sin(\frac{x}{2})\Bigsum_{k=0}^{n}cos(kx)=\frac{1}{2}\left(sin(\frac{2n+1}{2}x)+sin(\frac{x}{2})\;\right)}

bonne idée !

Posté par
olsapassre : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) 01-07-09 à 01:23

merci pour les réponses

  mais je n'y arrive pas , qqun pourrait me donner une esquisse du raisonnement à suivre?
( Une méthode générale pour résoudre ce genre de question? )

Posté par
J-Rre : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) 01-07-09 à 08:12

ehlor : oui en effet

l'idée n'est pas de moi


olsapass : tu parles de sommes quelconques ? ou celle là avec de la trigo ?

trigo : passage en complexe c'est souvent bourrin mais ça marche.

dans le cas général, il faut s'exercer.

@+

Posté par
olsapassre : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) 01-07-09 à 12:40

Ok , mais je n'arrive toujours pas a résoudre cet exercice , la technique "par telescopie" m'est aussi inconnue.

Pourrais tu me montrer comment arriver au résultat fourni par elhor

Posté par
J-Rre : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) 01-07-09 à 12:51

on a :

sin(a)cos(b)=\frac{1}{2}(sin(a+b)-sin(b-a))

ici :

a <-> \frac{x}{2}
b <-> kx

d'où le premier encadré.

dès lors, on a bien une somme télescopique (tu vois en explicitant ta somme que les termes vont deux à deux se simplifier : il ne vas rester que les deux termes extrêmes) d'où le second encadré.

Posté par
gui_toure : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) 01-07-09 à 12:55

Bonjour,

Perso je suis toujours passer par la forme exponentielle, que ce soit pour la somme des ch(ax+b) ou des sin(ax+b). Même si les astuces des formules de trigo sont élégantes, quand on début mieux vaut la forme exponentielle, ça fait moins magique.

Posté par
olsapassre : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) 01-07-09 à 15:04

Merci beacoup , je vois mieux ! il faut en effet maitriser les formules de trigo

Dans le cours que j'ai, la methode utilisé est l'exponentielle , qqun pourrait me donner l'idée du raisonnement a suivre?

Posté par
olsapassre : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) 04-07-09 à 15:56

UP

Posté par
gui_toure : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) 04-07-09 à 18:18

Tu écris :

3$\cos(kx+y)=\rm{Re}\(e^{i(kx+y)}\)

et tu utilises la propriété "la somme des parties réelles = la partie réelle de la somme"

ensuite tu mets exp(y) en facteur, puis utilise la somme des termes d'une suite géométrique de raison exp(ix)

Posté par
olsapassre : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) 04-07-09 à 22:25

Pourrais tu me donner le resultat?

Posté par
gui_toure : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) 04-07-09 à 22:38

Je pose : 3$S_n(x)=\Bigsum_{k=0}^n\cos(kx+y)

3$S_n(x)=\rm{Re}\[\Bigsum_{k=0}^ne^{i(kx+y)}\]

Je pose à nouveau : 3$T_n(x)=\Bigsum_{k=0}^ne^{i(kx+y)

3$T_n(x)=e^{iy}\Bigsum_{k=0}^ne^{ikx

3$T_n(x)=e^{iy}\Bigsum_{k=0}^n(e^{ix})^k

3$T_n(x)=e^{iy}\times{4$\fr{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}} pour 3$x\not\equiv0\ [2\pi]

Or 3$1-e^{ix}=e^{i\fr{x}{2}}\(e^{-i\fr{x}{2}}-e^{i\fr{x}{2}}\)=-2i\sin\(\fr{x}{2}\)e^{i\fr{x}{2 d'où

3$T_n(x)=e^{iy}\times{4$\fr{-2i\sin\(\fr{(n+1)x}{2}\)e^{i\fr{(n+1)x}{2}}}{-2i\sin\fr{x}{2}e^{i\fr{x}{2 pour 3$x\not\equiv0\ [2\pi]

On simplifie par -2i, on regroupe les exponentielles et on obtient :

3$T_n(x)=e^{i(y+\fr{n}{2}x)}\times{4$\fr{\sin\(\fr{(n+1)x}{2}\)}{\sin\fr{x}{2} pour 3$x\not\equiv0\ [2\pi]

Pour retomber sur 3$S_n(x), on prend la partie réelle :

3$S_n(x)=\cos\(y+\fr{n}{2}x\)\times{4$\fr{\sin\(\fr{(n+1)x}{2}\)}{\sin\fr{x}{2} pour 3$x\not\equiv0\ [2\pi]

Sauf erreur !

Posté par
olsapassre : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) 04-07-09 à 23:31

Merci beacoupp !!
Cette methode est beacoup plus adequate vis a vis de mes connaissances

  Merci tout le monde

Posté par
gui_toure : Sommes trignonometrique du type cos(kx+y) 05-07-09 à 10:33


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !