Bonjour,
Pour vérifier que c'est un corps il faut verifier que chaque élément non nul est inversible ici ce n'est pas le cas par exemple de 2.

Comment on démontre qu'un élément est inversible aussi?

Ben en exhibant un inverse, ici  2 n'a pas d'inverse dans Z[i] (1/2 n'y est pas)

Ok d'accord merci

Je dois aussi montrer que [] --> []
tel que f(a+ib2) = a- ib2
est un isomorphisme.

Je l'ai démontré en disant que c'est morphisme deja.

après j'ai dit que c'était injectif
mais j'arrive pas a démontrer si cest surjectif ou non,
comment on fait ?

svp

Ben c'est une involution...mais sinon a la main ca doit pas etre dur de trouver l'antecedant d'un element.

l'involution c'est quoi?

Une application qui verifie f²=Id

Justement comme f(Z) est inclus dans Z et que f^2=id en réappliquant f sur les 2 cotés de ton inclusion tu auras Z inclus dans f(Z) d'ou l'égalité des 2 ensemble donc la surjectivité

Est ce que je peux le démontrer ainsi :

soit z [i2]
je pose f(z') = z avec z = a+ib2
f(z') = a + i2
c'est a dire que z' = a - ib2
donc surjective?

je pense que ce n'est pas faux mais la démonstration avec l'involution me semble plus rigoureuse.

Oui ca marche mais note que f²=Id est plus fort ca te donne directement un inverse donc pas besoin de prouver la surjectivité et l'injectivité tu prouver d'un coup que c'est un isomorphisme d'anneau.

quand je fais f² j'obtiens :

a²+2b-2abi2

?

Heu...f² ca veut dire fof (f rond f)

D'accord je savais pas

Juste en montrant que fof = Id ca prouve que c'est un isomorphisme?
pas besoin de montrer que c'est un morphisme, ni une bijection?

f^2 c'est appliquer 2 fois f à z donc une première fois te donne a+ib2^(1/2) et une 2nde te redonne a-ib2^(1/2)

Merci de ton explication j'ai compris mtn

mais je me demande :

Juste en montrant que fof = Id ca prouve que c'est un isomorphisme?
pas besoin de montrer que c'est un morphisme, ni une bijection?

Heu un morphsime bien sur, mais le fait que ce soit inversible (et que son inverse soit un morphsime, mais ca c'est automoatique pour un anneau) ben ca prouve que c'est une bijection.

euh c'était le contraire d'ailleurs (-b puis +b) f^2=id te donne la bijection ca j'en suis certaine par contre le morphisme je ne sais pas

Oui j'avais vu l'erreur mais j'avais compris quand meme

Ok donc sur ma copie je peux prouver les deux : morphisme & fof=Id.

Encore merci

voilà je pense qu'avec ca c'est bon!