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Sous-anneau et idéal ...
Bonjour à tous,
A votre avis, l'affirmation " Soit A un anneau. Si B est un sous-anneau et un idéal de A, alors B=A " est juste ?
Car j'ai prouvé qu'elle est fausse et qu'elle est juste.
On établit assez facilement que 2Z est un sous groupe ainsi qu'un idéal (le produit d'un entier par un nombre pair donnera un nombre pair), et pourtant, 2Z est différent de Z. Ce qui constitue un contre-exemple.
Par contre, Supposons A un anneau, B un sous-anneau et idéal de A. B contient l'élément neutre dans A, noté 1.
B est inclus dans A.
Soit x dans A. Alors pour tout y dans B, x*y est dans B (absorbant). En particulier, en choisissant a=1, on obtient que y appartient à B.
Donc on aurait pour toute partie B étant à la fois idéal et un sous-anneau de A, A=B.
Merci d'avance... un taupin intrigué
Bonjour,
On établit assez facilement que 2Z est un sous groupe ainsi qu'un idéal
Si c'est un idéal de Z, c'est en particulier un sous-groupe de Z. Tu n'as donc pas montré que c'était un sous-anneau de Z, et en particulier que 1 est dans 2Z.
Or 1 n'est pas élément de 2Z, donc 2Z n'est pas un sous-anneau de Z, et donc ne contredit pas ta preuve (qui est correcte).
Voilà !
mea culpa, j'ai lu un chouya trop vite ta preuve.
Tu veux montrer que tout x dans A est aussi dans B, il font donc prendre y=1.
En effet Soit B sous-anneau et idéal de A, et x€A, alors x=x*1€B car 1€B (sous-anneau) et B est un idéal.
d'où A est inclus dans B, or B était inclus dans A, donc B=A.
Merci, je pensais qu'il fallait qu'il contienne l'élément neutre pour + et non pour x !
bonne soirée
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