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Sous ensemble vectoriel
Bonsoir je dois dire si E = { f
F(
,) , f(1)=0 }
Je sais pas du tout comment faire pouvez vous maider s'il vous plait ?
Je sais juste comment faire lorsqu'on nous demande par exemple E = {(x,y,z)^3 , x-y=z = 0}
Bonsoir.
Tu dois certainement savoir que F(IR,IR) est un IR-espace vectoriel.
Donc, (bien que tu ne le mentionnes pas dans l'énoncé) tu dois prouver que E est un sous-espace vectoriel de F(IR,IR).
Pour cela, utilise le théorème classique :
1°) E est non vide
2°) toute combinaison linéaire d'éléments de E est un élément de E.
Oui nous avons vu cette propriete en cours
Mais pour montrer que E est non vide, nous avions l'habitude d'utiliser le vecteur nul
Or ici, cest impossible
Est ce quon peut dire que E est non vide car f(1)=0 appartient a E ?
Et pour la combinaison lineaire, faut-il intrduire 
,
, et des vecteurss ?
La fonction nulle, notée O, définie par O(x) = 0, joue le rôle de vecteur nul.
Pour la combinaison linéaire, prend deux réels a et b et deux fonctions f et g de E
(a.f + b.g)(1) = a.f(1) + b.g(1)
Mais comme f et g sont dans E, f(1) = 0 et g(1) = 0, donc :
(a.f + b.g)(1) = a.f(1) + b.g(1) = a.0 + b.0 = 0
La fonction a.f + b.g vérifie bien (a.f + b.g)(1) = 0, donc, a.f + b.g E
merci
donc si a la place de f(1)=0 il y a f(0)=1 on trouve que cest pas un sous-ensemble vide cest ca ?
donc si a la place de f(1)=0 il y a f(0)=1 on trouve que cest pas un sous-ensemble vide cest ca ?
Désolé, je ne vois pas ce que tu veux dire.
Peut-être veux-tu dire que dans ce cas, le vecteur nul (la fonction O) n'est pas dans l'ensemble ?
On peut toujours trouver une fonction f telle que f(0) = 1, par exemple cos(0) = 1
Par contre si f(0) = 1, on a ceci :
Si f et g vérifient cette propriété, la somme f+g ne la vérifiera pas :
(f+g)(0) = f(0) + g(0) = 1 + 1 = 2
Donc, la stabilité par combinaison linéaire est mise en défaut.
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