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sous espace et endomorphisme

Posté par
lematheu 23-11-09 à 20:58

salut, voici un exercice auquelle je bloque vraiment..

E=Cinfini(]0,+infini[,) et u est l'endomorphisme de E qui a tout element de f de E associe la fonction g=u(f) définie par : x > 0 g(x) = xf'(x)

1)montrer qu'il existe un sous espace de E0 de E stable par u et tel que l'endomorphisme induit v = uE0 verifie v o v = 0

2)prouver de meme l'existence pour k 0 d'un sous espace Ek de E stable par u et tel que l'nedomorphisme induit v = uEk verifie v o v = kv

merci de votre aide !

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 23-11-09 à 21:24

Bonjour,

L'endomorphisme u est l'application linéaire :
3$ u: \ C^{\infty} \ \longrightarrow \ C^{\infty} \\ \ \ \ \ \ f \ \longrightarrow g: \ x\to x\cdot f^'(x)

Donc on lui donne une fonction C(infinie) et u nous ressort la fonction qui a x associe xf'(x).

1) Tu peux chercher vers les fonctions très simples, par exemple les fonctions constantes.

2) Raisonne par analyse synthese :
Supposons qu'il existe Ek. Alors pour toute fonction f de Ek, on aurait u o u(f)=ku(f). Traduis ceci en termes d'équation différentielle.

Posté par
lematheure : sous espace et endomorphisme 24-11-09 à 22:57

1) je vois pas ce que je peux faire avec les fonctions constantes.. ^^

2) on a u2-ku = 0    mais jvoi pas comment avancer..

je comprend pas grand chose enfet

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 13:27

Bonjour,

Il ne faut pas avoir peur de l'endomorphisme u.
u s'est avant tout une application linéaire qui à une fonction de ]0,+oo[ dans R lui fait correspondre une autre fonction qui va elle aussi de ]0,+oo[ dans R.

Ainsi si f appartient à C^{\infty}(]0,+\infty[,\mathbb{R}), alors u(f) est une fonction de C^{\infty}(]0,+\infty[,\mathbb{R}), ok ?
La fonction u(f) est définie dans ton énoncé par u(f)=g, c'est à dire que pout tout x dans ]0,+oo[, [u(f)](x)=g(x)=xf'(x).

Ca va comme ca ?

Maintenant si tout est compris, prenons un réel K et f la fonction qui a x associe K. Que vaut u(f) ?

Posté par
lematheure : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 18:59

je dirais que ca non donne u(f(x)) = 0 car f'(x)=0 non ?

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 19:01

Donc u(f) est la fonction nulle, on est d'accord ?
Il faut vraiment que tu en sois persuadé !

Si f(x)=K pour tout x>0, f est bien C infinie et on a u(f) est l'application qui a x associe 3$ g(x)=xf^'(x)=x\times 0= 0 ! Donc u(f) est bien l'application nulle.

Tu en penses quoi vis a vis de la premiere question ?

Posté par
lematheure : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 19:06

E0 est le sous espace de E induit par l'application nulle

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 19:12

Ah non !
Attends, on se fixe les idées :
On a u:E E un endomorphisme.

Un sous espace E0 est dit stable par u si u(E0)E0.
Les vecteurs de E sont des fonctions (!) , donc il faut qu'on trouve un sous espace vectoriel E0 de E qui vérifie que pour tout f dans E0, u(f) appartient encore à E0.
C'est bien ca, n'est ce pas ?

Posté par
lematheure : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 19:27

exact,
et bien on peut dire que E0 est l'ensemble de toutes les applications constante definie par f:x->K avec K une  constante, non ?

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 19:31

E0 n'est pas nécessairement unique.
Ceci dit, là on est susceptible d'en avoir trouver au moins un : celui des applications constantes sur ]0,+oo[. Pour conclure que l'ensemble des applications constantes est un bon candidat à E0, il faut néanmoins s'assurer que c'est un sous espace vectoriel de E.
Est ce le cas ?

Posté par
lematheure : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 19:35

E0 est inclus dans E

je sais pas trop quoi dire d'autre ^^

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 19:41

Citation :
1)montrer qu'il existe un sous espace E0 de E stable par u et tel que l'endomorphisme induit v = uE0 verifie v o v = 0


Il faut trouver un ensemble qu'on va appeler E0 qui véfirie :
(i) - E0 est un sous espace vectoriel de E,
(ii) - u(E0)E0
(iii) - l'endomorphisme v, induit par u sur E0, vérifie v\circ v= 0

Pour l'instant, on a que (ii) n'est ce pas ?

Posté par
lematheure : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 19:43

oui. il reste donc (i) et (iii) j'ai vraiment des dificultées...

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 19:44

Allons y tranquillement
Notre ensemble E0={application constante sur ]0,+oo[} est-il un sous espace vectoriel de E ?

Posté par
lematheure : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 19:46

je pense que oui mais je sais pas comment le montrer ^^
je peux juste dire que E0 est inclut dans E.. mais ca suffit pas.

j'ai pas l'habitude de travaille avec des espace composé de fonctions..

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 19:48

Quel est l'élement nul de E ? Est-il dans E0 ?

Posté par
lematheure : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 20:02

bin l'element nul de E est la fonction nulle dont on a parle tout a l'heure non ?
donc il est dans E0...

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 20:04

Oui.
Est ce que si f et g sont des élements quelconques de E0, alors f+g est dans E0 ?
Est ce que si f est dans E0 quelconque et dans , alors f est dans E0 ?

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 20:22

En répondant à ca, tu auras montrer que E0 est un sous espace vectoriel de E0.

Posté par
lematheure : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 20:38

f(x) + g(x) = (f+g)(x)=h(x)   en posant h = f+g   h est une application constante
f + g appartient a E0

f(x) = f(x)  f est une application constante dc f est dans E0

c'est correct ?

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 20:44

Soit f et g deux fonctions constantes ( f(x)=C1 et g(x)=C2 ) de E et lambda un réel :
3$ f+g \in E_0 : \ \forall x>0, \ (f+g)(x)=f(x)+g(x)=C_1+C_2 i.e f+g est constante.
3$ (\lambda f) \in E_0: \ \forall x>0, \ (\lambda f)(x)=\lambda f(x)=\lambda C_1 i.e lambda f est constante.

Finalement E0 est bien un sous espace vectoriel de E.

Montrons maintenant (iii) :
il faut montrer que v o v =0 , c'est à dire pour tout f de E0, on a u(u(f))=0 (ok ? )
Que proposes tu ?

Posté par
lematheure : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 20:47

on a montré que u(f)=0 dc u(o)=0f'(0)=0  dc ça marche..

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 20:51

Oui ca marche bien puisque l'image d'une fonction constante par u est la fonction nulle et u est une application linéaire.
S'en donc terminer de la question 1).

Pour la question 2) comme je te l'ai dit :

Citation :
Supposons qu'il existe Ek. Alors pour toute fonction f de Ek, on aurait u o u(f)=ku(f). Traduis ceci en termes d'équation différentielle.

Posté par
lematheure : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 21:03

cool

je dirait u o u = u ( x f'(x)) = xf'(x)f''(x)
et ku(f) = kxf'(x)

donc xf'(x)f''(x) = kxf'(x)
x(f''(x)-k)f'(x)=0

correct ?

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 21:04

Non.

u(f)=g pour tout f dans E.
u o u(f)=u(g)=xg'(x) ok ?

Posté par
lematheure : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 21:16

a oui

donc xg'(x) - g(x) = 0

c'est ça l'equa diff qu'il faut avoir ?
mais ensuite ? jvoi pas qu'es ce qu'on peut faire avec une equa diff ici..

Posté par
lematheure : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 22:19

up please

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 22:30

Maintenant remplace ton g par son écriture avec f (puisqu'au final on veut des conditions sur f et pas sur g)

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 22:40

Citation :

donc xg'(x) - g(x) = 0


Non,

u o u(f))=u(g), donc pour tout x>0,
3$ [u\circ u(f)](x)=[u(g)](x)=xg^'(x)=x(xf^{''}(x)+f^'(x))=x^2f^{''}(x)+xf^'(x)
ok ?

Maintenant relie tout ca à ce qu'on veut: si v o v (f) = v(f) pour tout f de Ek quelle équa diff vérifie f ?

Posté par
lematheure : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 22:57

ca donne  x2f''(x)+xf'(x)=kxf'(x)  ??

( on veut v o v = kv)

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 23:17

Donc f' vérifie quelle équation différentielle ?

Posté par
lematheure : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 23:24

x2f''(x)+(1-kx)f'(x)=0

solution f'(x)=ln((1-kx)/x) ?

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 23:31

Non toujours pas !

Je répète vite fait ce qu'on veut pour que tout soit bien clair :
On a supposé qu'il existait un s.e.v de E noté Ek tel que u o u = ku sur Ek.

Ainsi pour tout f dans Ek, u o u (f)=u(f) . Ceci implique alors que
3$ x(xf^{''}(x)+f^'(x))=xf^'(x) \Longrightarrow xf^{''}(x)+f^'(x)=f^'(x).

Donc f' est solution de l'ED : ky=xy'+y.
Quelles en sont les solutions ? Qu'en déduis-tu sur la forme de f ?

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 23:32

J'ai oublié un 'k' :

3$ x(xf^{''}(x)+f^'(x))=kxf^'(x) \Longrightarrow xf^{''}(x)+f^'(x)=kf^'(x)

Donc f' est solution de l'ED : xy'+y=ky.
Quelles en sont les solutions ? Qu'en déduis-tu sur la forme de f ?

Posté par
lematheure : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 23:37

ba c'est ce que j'ai dit. jai fait passer le f'(x) de l'autre coté pr factoriser..
ah mais pk il n'y a pas de x à droite dans ton equation ? l'enoncé dit u(f)=xf'(x)

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 23:41

J'ai tout réécris parce que tu trouvais la mauvaise équation différentielle tout simplement.

En fait tu peux voir que je l'ai écrit dans un premier temps le 'x', mais qu'après on peut le simplifier  dans l'équation différentielle puisqu'on travaille sur x>0.
3$ \red x 3$ (xf^{''}(x)+f^'(x))=k3$ \red x3$ f^'(x) \Longrightarrow xf^{''}(x)+f^'(x)=kf^'(x)

Posté par
lematheure : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 23:48

ah ok.. ba donc l'equadiff est xf''(x) + (1-k)f'(x) = 0
solution:
f''(x)/f'() = (k-1)/x

f'(x) = ln((k-1)/x)

c'est bon j'espere ^^

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 25-11-09 à 23:56



Non !

L'ensemble des solutions de xy'=(1-k)y ne sont pas celles que tu annonces.
xy'=(1-k)y ssi y'=[(1-k)/x]y, or une primitive de (1-k)/x est (1-k)ln(x).
Ainsi les solutions de xy'=(1-k)y sont les fonctions y(x)=Cexp((1-k)ln(x))=Cx1-k

Posté par
Narhmre : sous espace et endomorphisme 26-11-09 à 15:52

Bonjour,

Je reviens juste sur la petite erreur que j'ai écrite dans mon dernier message soir:
J'ai oublié un signe  '-' dans mon équation différentielle.

Il fallait lire :

Citation :
L'ensemble des solutions de xy'+(1-k)y=0 i.e xy'=\red (k-1)y ne sont pas celles que tu annonces.
xy'=\red (k-1)y ssi 3$ y'=\fr{(k-1)}{x}y, or une primitive de 3$ x\to\red (k-1)/x est \red (k-1)ln(x).

Ainsi les solutions de xy'+(1-k)y=0 sont les fonctions 3$ \fbox{ y(x)=C\exp((k-1)\ln(x))=Cx^{k-1}   avec C réel


Donc finalement f'(x)=Cx^{k-1} , C dans R.


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