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Sous espace stable en dimension infinie
Bonsoir,
je bloque complètement sur cet exercice tiré d'une planche d'oral, dont voici l'énoncé:
Soit E de dimension infinie et u endomorphisme de E.
Montrer qu'il existe un sous espace vectoriel non trivial stable par u
Le caractère infini me pose carrément problème! Ou alors il y a un truc évident que je ne vois pas ... Mais bon, je ne vois pas à quelle partie du cours je peux me rapporter. Donc si vous avez quelques idées, des pistes, je suis preneur.
JFK
Tu peux toujours reflechir sur l'endo reduit à un espace de dimension finie inclut dans celui de dimension infinie si c'est ce qui te gene.
Soient K un corps cpmmutatif , E un K-ev de dimension infinie rt u 
L(E) \ {IdE}
On veut montrer que l'ensemble S(u) des sous-vectoriels propres de E stables par u est non vide.
Pour x E je désignerai par F(x) le sous-vectoriel de E engendré par 
(x) = {un(x) ; n 
}.Tous les F(x) sont stables par u.
Si a est non nul et si dim(F(a)) < +
il est clair que F(a) S(u).
Supposons donc que pour tout x de E dim(F(x)) soit infinie.
Soit a non nul. Posons b = u(a) . On a F(b)
F(a).
Si on avait F(b) = F(a) on aurait a F(b) et on pourrait trouver n , t0,t1,...,tn dans K non tous nuls tels que t0.b + t1.u(b) +...+ tn.un(b) = a .
{a,u(a),....,un+1(a)} ne serait pas libre et F(a) serait de ndimendion finie , ce qui est contradictoire. On a donc F(b) 
F(a) et donc F(b) S(u)
Bonsoir,
@ raymond: E est en fait un K-ev de dimension finie n. Désolé pour l'omission.
@ kybjm: Joli... merci beaucoup!
Pour info, cet exercice est tiré d'une planche du concours Centrale.
@+ !
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