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sous espace vectoriel
Bonjour 
j'aurai besoin de votre aide sur une question d'un exercice sur les sous espaces vectoriels
"on considere l'équation différentielle y''(x)+4y'(x)-2y(x)=0
montrer sans résoudre l'équation que l'ensemble des solutions est un sous espace vectoriel de l'ensemble des applications de R dans R"
voila donc on peut deja dire que l'ensemble est un sous espace vectoriel si
1/ cet ensemble est non vide
2/ que quelque soit x et y appartenant à l'ensemble x+y appartient a l'ensemble
3/ quelque 
R *x à l'ensemble
voila à part ceci j'sais pas vraiment comment résoudre cet exercice donc si vous pourriez prendre quelques inutes de votre temps pour m'aider sa serait sympa 
Bonjour,
du moment que tu as la définition d'un espace vectoriel, ça me semble très simple !
Tu notes S l'ensemble des solutions de ton équation différentielle, et tu montres qu'il satisfait aux conditions :
- d'abord tu prouves que S est non vide (il suffit de trouver une des solutions de l'équation différentielle)
- tu poses y1 et y2 appartenant à D (c'est à dire deux fonctions de R dans R qui vérifient l'équation différentielle) et tu testes si y1 + y2 vérifie l'équation différentielle... c'est un résultat trivial à mon humble avis.
- tu poses y appartenant à D, et tu testes si lambda*y vérifie cette même équation.. encore trivial non ?..
oui je suis d'accord mais l'énoncé dit sans résoudre l'équation donc est-ce que j'ai bien le droit de prendre des solutions de l'équation ?
Je pense que donner une solution particulière n'est pas la même chose que résoudre l'équation... mais peut-être que je me trompe.
hello
à 99,99999 % des cas, pour montrer qu'un truc est non vide on choisit le vecteur nul de l'espace vectoriel considéré.
Ici, clairement, la fonction nulle est solution de l'homogène, donc c'est gagné !
ok donc puisque l'ensemble des solutions est un espace vectoriel et contient une solution évidente qui est la fonction nulle
donc pour peut faire :
1-/ l'ensemble et non vide car y''(0)+4y'(0)-2y(0)=0 (jsais pas si on présente ca comme ceci avec la fonction nulle ?)
2 et 3-/ y1, K et y2 appartiennent à R et vérifient l'équation donc K*y1+y2 = "k*0+0" =0 donc K*y1+y2 appartient à R
est-ce qu'on peut faire comme ca ?
jsais pas comment insérer la fonction nulle au départ en fait
non tout simplement du dis :
si y est la fonction nulle, alors pour tout réel x on a y''(x)+4y'(x)-2y(x)=0 c'est à dire que la fonction nulle est solution de l'équation différentielle.
pour la stabilité par combinaison linéaire, tu prends y1 et y2 dans l'ensemble des solutions, K dans IR et tu vérifies que la fonction (Ky1+y2) est solution de l'équa diff
ça marche bien car pour tout réel x, (Ky1+y2)(x) = K*y1(x)+y2(x) etc
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