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Sous espace vectoriel
Bonsoir,
J' ai un exercice sur les espace vectoriels que j' ai entamé mais que je n' ai pas reussit à finir.
Soit W un sous espace vectoriel de P3[x] engendré par
P = x^3+x²+1 Q=3x^3-x²+2x-3 R=4x^3+2x²+x+1 et S=4x^3+2x-2
a) donner une base et la dimension de W, j' ai trouvé : P + Q = S d' ou B[P,Q]sev et dimW = 2
b) Le polynome T = 2x^3+x-1 appartient t il à W ? Si c' est le cas, donner ses composantes relativement à la base choisie.
j' ai trouvé qu' il appartient bien à W avec T = 1/2p + 1/2Q
soit encore le sous ensemble de P3[x]
H = { P € P3[x] | P(1) - 4P'(0) = 0 }
ou P'(0) est la dérivée de P en 0.
c) Montrer que H est un sous espace vectoriel de P3[x].
C' est ici que je bloque, d' habitude cette question ne me pose pas de probleme lorsqu' il s agit de matrices par exemple mais avec les polynome je ne vois pas trop comment faire ...
Merci d' avance pour votre aide 
Bonsoir.
a) R = (1/2)(5P+Q) et S = P+Q
Comme P et Q sont indépendants, dim(W) = 2 et une base de W est (P,Q)
b) D'accord T = (1/2)(P+Q) donc, T est dans W.
Les coordonnées de T sur la base (P,Q) sont donc : 1/2 et 1/2
c) Etude de H
¤ Par définition, H est inclus dans IR3
¤ Le polynôme nul O vérifie O(1) - 4O'(0) = 0. Donc, O appartient à H et H est donc non vide.
¤ Soient P et Q deux éléments de H. Considérons deux réels a et b. Etudions le polynôme R = a.P + b.Q
R(1) - 4R'(0)
= (aP + bQ)(1) - 4(aP + bQ)'(0)
= aP(1) + bQ(1) - 4(aP' + bQ')(0)
= aP(1) + bQ(1) - 4aP'(0) - 4bQ'(0)
= a[P(1)-4P'(0)] + b[Q(1) - 4Q'(0)] = a.0 + b.0 = 0
Je te laisse le soin de conclure.
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