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sous espace vectoriel
Bonjour,
J'ai un exercice composé 2 questions où j'ai du mal.
Voici l'énoncé
Soit M2(
) le -espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2. Si A est un élément de M2(), on note ATla matrice transposée de A. On définit
S2() = {A 
M2() |AT = A}
A2() = {A M2() | AT = -A}
a) Montrer que S2() et A2() sont deux sous-espaces vectoriels de M2().
Alors pour cette question j'ai commencé par dire que la matrice nulle appartient aux deux. Mais après j'ai du mal pour démontrer que la somme de deux vecteurs de S2 est dans S de même que la somme de deux vecteurs de A2 est dans A2. Je ne sais pas si ce que je dis est correcte.
b) Montrer que S2() et A2() sont supplémentaires dans M2().
Pour cette question je n'ai pas d'idée.
Merci de m'aider. Ludovic
Bonsoir Ludovic,
Pour a), la stabilité par linéarité de S2 et A2 vient de la linéarité de la transposition.
Pour b), déjà tu peux montrer facilement que l'intersection de ces deux ensembles est l'espace nul. En effet cela signifierait que la transposée de A serait A et -A donc A=-A donc A=0.
Ensuite, il faut que tu montres que toute matrice s'écrit comme somme d'une matrice de A2 et de S2. Si tu as la matrice
alors, on a
est une décomposition qui convient. Tu peux vérifier facilement que celui de gauche est dans S2 et l'autre dans A2.
Bonsoir,
1) utilise : (A+B)T= AT+BT et (
A)T = (AT)
2)Pour l'intersection :si A=-A alors que dire de A? Tu cherches ensuite BS2() et C
A2() tels que A = B + C (1).Tu auras donc AT = BT + CT = B - C (2).Les égalités (1)et(2) forment un système qui te permettront de trouver B et C en fonction de A et AT.Bien sûr, tu vérifieras que les matrices B et C trouvées sont dans S2(
) et A2(
) respectivement.
Bonsoir,
J'ai compris pour la b.
Cependant pour la a) j'ai un peu de mal à comprendre. J'ai regardé mon cours et je peux dire que dans S2 la matrice A est symétrique et dans A2, la matrice A est asymétrique.
Je ne comprend l'expression "la stabilité par linéarité de S2 et A2 vient de la linéarité de la transposition". Est ce que je peux avoirs des explications. Merci d'avance. LUdovic
ça signifie que si tu as aA+bB (a et b constantes) et alors , ce qui entraine que A2 est stable par linéarité non?
Bonjour, tout d'abor merci pour les réponses.
Alors j'ai un peu mieux compris pour la question a. Mais j'ai encores des incompréhension. En effet le fait que (A + B)T = AT + BT et que (A)T = AT suffit pour dire que S2 est un sev. J'aurais crus qu'il aurait fallut obtenir cette égalité suivante : (A + B)T = A + B car dans l'énoncé il est dit que dans S2 on avait la condition suivante : AT = A. Désolé de vous embêter avec mes incompréhension.
Ludovic
Pour la question b, suite au message de jf91 alors avec mon système j'ai trouvé
B = 1/2(A + AT) et C = 1/2 A - 1/2 AT.
Avec de la persévérance j'ai finis par rédigé mes réponses. Merci d'avance pour votre aide à tous les deux. Bonne fin de journée. Ludovic
Pour la a) ça va de soi qu'on doit montrer que (A+B)t=A+B (ou avec des moins). Mais le passage fondamentale c'est la linéarité de la transposition, c'est pourquoi je dis que c'est elle qui garantis la stabilité par linéarité de S2.
Si A et B sont dans S2 alors on a (aA+bB)t=aAt+bBt, or A et B sont dans S2 donc A=At et B=Bt donc (aA+bB)t=aA+bB.
Donc toutes combinaisons linéaires d'éléments de S2 est dans S2.
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