Bonjour.

Tes questions sont peu claires :

"un sous espace vectoriel engendrer E" ?

" les 3 ensembles pour lesquelles je dois trouver un sous espace vectorielle/" ?

Pardon je voulais dire qu'il fallait déterminer un sous espace vectoriel engendré par E

Je vais donner l'énoncé correct.

Dans les trois cas suivants, E est-il un sous-espace vectoriel de IR⁴ ?

a). Les vecteurs (1,0,1,0) et (0,1,0,1) sont dans E. Leur somme est : (1,1,1,1) qui n'est pas dans E
Conclusion : E n'est pas un sous-espace vectoriel de IR⁴

b). Les vecteurs (2,1,1,0) et (0,1,2,0) sont dans E (en prenant a=1,b=0 puis a=0,b=1)
Leur somme (2,2,3,0) n'est pas dans E.
Conclusion : E n'est pas un sous-espace vectoriel de IR⁴

c).
¤(0,0,0,0) est dans E, donc, E est non vide
¤ Si (x,y,z,t) et (x',y',z',t') sont dans E alors, x+y+z+t = 0 et x'+y'++z'+t' = 0
Etudions si a.(x,y,z,t) + b.(x',y',z',t') = (ax+bx',ay+by',az+bz',at+bt') est dans E
ax+bx'+ ay+by'+ az+bz'+ at+bt' = a.(x+y+z+t) + b.(x'+y'+z'+t') = a.0 + b.0 = 0
Donc, a.(x,y,z,t) + b.(x',y',z',t') est dans E
Conclusion : E est un sous-espace vectoriel de IR⁴