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sous espace vectoriel droite
Bonsoir,
J'ai quelques petits souci à résoudre le pb suivant:
Montrer qu'un sev non réduit à {0} de K[X] et dont tous les éléments non nuls ont même degré est une droite.
Je démontre la contraposé: si dimE> 2 alors il existe ds K[X] 2 polynomes ds E et de degré distincts.
Cas n°1: d°(P1) différent de d°(P2)
Je choisi P=P1 et Q=P2 P et Q sont ds E et leur deg sont distincts
Cas n°2: d°(P1) = d°(P2)
Je choisi P=P1
Je dois déterminer Q en fonction de P1 et P2
Hypothèse est: dimE> soit (P1,P2) libre ds E
donc on a
aP1 + bP2 = 0
mais je suis bloqué pour la suite.
Merci de m'aider à résoudre ce pb
bonsoir
cela ne me parait pas très dur...
si dim(E)
2
il existe deux polynômes P et Q indépendants avec P et Q de même degré
P et Q ne peuvent être tous deux de degré 0 car deux polynômes constants sont toujours liés (proportionnels !)
soit a le coefficient dominant de P et b celui de Q
bP-aQ n'est pas nul (car P et Q indépendants) et bP-aQ est de degré strictement inférieur à celui de P (et de Q)
pourtant ce polynôme est dans E (CL de P et Q)... ce qui contredit le fait que tous les polynômes non nuls de E ont même degré.
donc dim(E)=1
MM
Merci pour votre réponse.
En effet, ce n'était pas très dur.
Mais je n'y avais pas pensé.
Merci encore
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