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Sous espaces propres
Bonjour à tous,
Je ne comprend pas vraiment comment trouver les sous espaces vectoriel propres d'une application linéaire.
Quand je travail sur une matrice à dimension finie, je sais comment faire mais sur une application théorique, je bloc.
Par exemple sur cet exercice :
L(E) 
L(E)
f 
pofop
Avec p un projecteur de E
est bien diagonalisable car en calculant o = Donc on peut exhiber un polynôme annulateur de qui est Scindé à Racines Simples.
On a le sp() = {1;0}
Recherche des sous espaces propres j'étudie :
Pour 
= 0 on étudie :
(f) = 0 
pofop = 0 et la je ne vois plus comment faire.
[J'ai pensé écrire la matrice bloc de p qui est connue mais je ne cornais pas celle de f]
Bonjour,
je suis d'accord avec tout ce que tu as écrit.Tu peux observer que ta dernière égalité équivaut, en appelant et
, à
donc à
Merci de ta réponse
Je peux donc en déduire que Dim ( Im ( fop ) ) 
Dim ( Ker(p)
Or E = Kerp 
Imp
Dim ( Im ( fop ) ) n - Imp
où n = Dim E
je ne vois pas bien ou l'on va.
Tu as prouvé plus haut que ton application était un projecteur de L(E), par conséquent elle est diagonalisable et son espace propre E0 associé à la valeur propre 0 (qui est l'espace parallèlement auquel se fait la projection) est le sev de L(E) constitué des endomorphismes f de L(E) vérifiant .
Reste à expliciter de façon analogue l'espace propre E1 associé à la valeur propre 1.
On ne pourra pas dire grand-chose de plus, à part (si l'on souhaite) donner la forme générale des matrices des endomorphismes constitutifs de ces deux espaces propres à l'intérieur d'une base adaptée à la décomposition en somme directe
Donc pour E1
On étudie (f) = f
d'ou
pofop = f
popofop = pof
pofop = pof
pofop - pof = 0
pof(p-Id) = 0 d'où f(p-Id) 
K
Or Imp correspond aux invariant de E
on a Imp = Ker(p-Id)
D'ou f(H) 
K
Et donc j'obtiens la même inclusion que précédemment !
Non, il y a une erreur de raisonnement:
pour un x fixé, (p-id)(x) est dans Im(p-id) = Ker p donc ton résultat signifie juste que f stabilise le noyau K de p.
Mais tu n'as pas raisonné par équivalence au départ puisque tu as composé de chaque côté par le morphisme non inversible p.
En fait il est assez facile de voir que f est dans E1 si et seulement si Im(f) est inclus dans H et si pour tout x, f(x) = f(p(x)).
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