Inscription / Connexion Nouveau Sujet
sous espaces stables et dualité
Bonjour,
Je viens de démontrer (ou du moins de comprendre la démonstration) de la proposition suivante:
Soit E espace vectoriel de dimension finie, f un endomorphisme de E et F un sous espace vectoriel de E. Alors on a :
"F stable par f" ssi "F orthogonal stable par la transposée de f"
(L'orthogonal de f est ici l'ensemble des formes linéaires de E qui s'annulent sur F)
Je trouve alors une application que je ne comprend pas: Si H est un hyperplan de E alors H est stable ssi H orthogonal est une droite propre de transposé de f.
Si quelqu'un pouvait m'expliquer ça!
Merci!
Bonjour.
Soit H un hyperplan stable par f.
D'après le théorème que tu mentionnes plus haut, 
(H) est stable pour t(f)
Mais (H) est une droite vectorielle D, donc de dimension 1.
Alors, il existe un vecteur non nul a, tel que D = IK.a
La stabilité de D se traduit par : f(a) 
D, donc f(a) = 
.a
Un "transposé" a sauté dans la dernière ligne.
Lire : La stabilité de D se traduit par : t(f)(a) D, donc t(f)(a) = .a
Salut! Merci beaucoup j'ai bien compris. Par contre le "a" que tu choisi est dans ce contexte une forme linéaire et non pas un vecteur non?
Oui, un "vecteur" du dual, donc une forme linéaire.
Tu verras que ce résultat est intéressant pour chercher les hyperplans f-stables :
on cherche les formes propres de t(f)
Exact
C'est vrai,cela donne un résultat pour trouver les espaces de dimension n-1 qui sont f-stables mais sait-on expliciter tout les sous espaces stables en général?
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac