Bonsoir.

Comme le troisième exercice porte sur un Vect(...), je ne sais pas si ta preuve sera acceptée, bien qu'elle soit correcte quand on connait la définition de Vect(...).

Quelques détails minimes au sujet de cette preuve.

X = (x,y,z,t) F₁

X = (x,x,z,x) = x(1,1,0,1) + z(0,0,1,0)

X Vect(U,V), U = (1,1,0,1) et V = (0,0,1,0)

Donc, F₁ = Vect(U,V) est un sev de IR⁴.

Autre méthode.

¤ F₁ IR⁴ et comme O = (0,0,0,0) est dans F₁, F₁

¤ X et X' dans F₁, a et b dans R
aX + bX' = a(x,y,z,t) + b(x',y',z',t') = (ax+bx',ay+by',az+bz',at+bt')
x = y = t et x' = y' = t' ax+bx' = ay+by' = at+bt'
Donc, aX + bX' F₁

Merci Raymond pour ton aide

dans l'aide qui nous est donnée il y a : Pour F1 et F3 utiliser les sous espaces vectoriels engendrés par une famille de vecteurs
Pour F2 , choisir l'une des caractérisations habituelles de sev

mais je comprend vraiment pas ce que cela signifie... quelle methode utiliser ?

Puisque l'on t'aurorise à utiliser la notion de Vect(...), alors, ta preuve de 1°) est à conserver, avec les quelques corrections que je t'ai données.

De même pour 3°) : puisque F₃ = Vect(...), c'est un sev de IR⁴

Pour F₂ = { ( x+1 , 2x+2 , 2x+2 , y ) / ( x , y ) IR² }, tu peux écrire :

(x+1,2x+2,2x+2,y) = (x+1)(1,2,2,0) + y(0,0,0,1)