Bonjour, tazia

Supposons en effet par l'absurde que F est la réunion de deux sous-espaces vectoriels stricts A et B.
Alors, on dispose de (a,b) tel que
a appartient à A  sans appartenir à B
b appartient à B sans appartenir à A.
a+b est alors un élément de F, donc un élément de A ou B. Si a+b appartient à A, alors   b=(a+b)-a  appartient à A comme différence de deux éléments de A, ce qui est contradictoire. De même,   a+b  ne peut appartenir à B.
On a donc une contradiction.

Bonjour

Supposons que F et G soient deux vrais sous-espaces vectoriels de E tels que E=FG.

Commence par montrer qu'il existe x dans F et pas dans G et y dans G et pas dans F, puis regarde que devient x+y.

Bonjour perroquet

Bonjour, Camélia

Merci bcp j'ai compris! donc pour B on aurait : a+bB t on aurait a=(a+b)-b d'où aB et c'est contradictoire

J'aurais encore une question:

on veut savoir si un espace vectoriel peut être la réunion de 3 sous espace vectoriels.

A mon avis c'est possible si l'espace vectoriel est très petit sinon non.Comment est-ce que je peux faire pour le démontrer j'applique la même méthode que celle d'avant??

Merci d'avance

Non, ce n'est pas possible. Un espace vectoriel n'est jamais réunion de sous-espaces.

D'accord...en essayant d'appliquer [la même méthode] que celle au-dessus je me suis rendu compte que ca ne marche pas: j'aurais sinon: a+b+cA avec b+c=(a+b+c)-a d'où b+c A mais je ne peut pas encore affirmer que c'est contradictoire...y'at'il encore une méthode ou dois-je poursuivre le raisonnement?

Merci d'avance

Je ne sais pas comment tu as choisi tes a,b,c!

La méthode: Supposons que ABC=E.

Considérons le sous-espace B+C engendré par BC. Comme , on aurait aussi et ceci est impossible d'après la question précédente.

je prends:

U=ABC prenons

aA mais n appartient pas à B et C
bB mais n appartient pas à A et C
cC mais n appartient pas à A et B

on aurait donc: b+cB ou b+cC d'où b+cBC or b+cU donc A,c'est à partir d'ici que je bloque....

Merci

Oui, je t'ai donné la solution!

bonsoir camelia et perroquet
avec votre démonstration  il me semble qu'on déduit l'équivalence:
(F et G étant deux sous espaces vectoriels (sev) vrais d'un espace vectoriel V)
FG sevFG ou GF
ai-je fait une erreur de raisonnement?

Bonsoir...
Bon là je suis un peu hors sujet mais est ce que quelqu'un d'entre vous..s'il a l'envie et le temps biensur porrait m'aider pour un exercice que j'ai mis depuis une heure sur le forum ? il s'appelle: bases,vecteurs...Merci d'avance

Bonjour

Je pense que dans mon cas c'est donc bien possible d'avoir un espace vectoriel(très petit) qui est la réunion de trois sous-espaces-vectoriels...mais je ne sais pas comment le démontrer..

Ah ben non au contraire s'il est de dimension finie ca ne marchera pas...Il faut qu'il soit gros au contraire (mais pas trop trop non plus)

De toute façon la reunion ne sera jamais finie...

pas d'accord
F et  G deux sev d'un ....
si F G alors FG= G est un sev
c'est la réciproque qui nous intéresse
si FG est un sev alors ( F G ou F G )

On parle de sous espaces propres ici, ou comme on dit dans l'enoncé de "vrais" sous espaces

que signifie  F sous espace vectoriel strict? F{}

non on entend F different de l'espace total...

bon moi qui fait mon premier semestre d'informatique et qui ne comprend pas tout en maths n'arrive plus à suivre votre conversation je suis complètement perdue..."lol"

Donc si on a U=ABC
a A mais n appartient pas à B et C
b B mais n appartient pas à A et C
c C mais n appartient pas à A et B

Comment est ce que je peux démontrer que U peut être la réunion des trois sous espaces vectoriels A,B,C?

Merci beaucoup!

Suppose par exemple que C n'est pas inclus dans AuB et que AuB n'est pas inclus dans C.
Prend alors c dans C mais pas dans AuB, et x dans AuB mais pas dans C.
Alors x+c est dans AuBuC, disons dans C alors x+c-c=x et donc x est dans C, ce qui est exclut.
Donc soit C est inclus dans AuB soit AuB est inclus dans C. Dans le premier cas AuB est un sev et donc A inclus dans B ou B inclus dans A.

Bonsoir à tous.

Un espace vectoriel peut être la réunion de 3 sous-espaces vectoriels stricts.

Par exemple, (Z/2Z)² est la réunion des trois sous-espaces vectoriels suivants:

F = { (0,0), (1,0)}
G = { (0,0), (0,1)}
H = { (0,0), (1,1)}

Par contre, si on suppose que le corps de base est infini, on peut montrer qu'un espace vectoriel n'est jamais la réunion d'une famille finie de sous-espaces vectoriels stricts.

Mea culpa!