Bonjour,

J'aurais besoin d'une aide pour cet exercice:

On note E=R³. On note F={(x,y,z)R³ tel que x-y=0 et y+z=0} et G={(x,y,z)R³tel que x+y+z=0}

1)Montrer que F et G sont deux sous espaces vectoriels de E. Ici, pas de problème. J'ai trouvé que F={(y,y,-y); yR}={y*(1,1,-1)}=VECT((1,1,-1)). Ensuite j'ai montré que c'était une base de F (en démontrant que c'était une famille libre et génératrice de F) de dimension 1 ce qui prouve que F est un sous espace vectoriel de E. Pareil pour G sauf que G a pour dimension 2 (G={y*(-1,1,0)+z*(-1,0,1);(y,z)R²}=VECT((-1,1,0);(-1,0,1)).

2)Déterminer FG et F+G.

FG={(x,y,z)R³ tel que:x-y=0 y+z=0 et x+y+z=0} Je résous un systeme et trouve x=0 =0 z=0 soit FG=. Ainsi F et G sont en somme directe (intersection vide)

Ensuite, et c'est là que j'ai un doute, j'écris F+G={(y,z)R² y*(1,1,-1)+y*(-1,1,0)+z*(-1,0,1)} soit F+G={y*(0,2,-1)+z*(-1,0,1)} Ainsi dim(F+G)=2 ce qui contredit l'égalité de Grassman qui dit que dim(F+G)+dim(FG)=dim(F)+dimG si F et G sont deux sous espaces vectoriels de E...

3)Donner une interprétation géométrique des résultats

Voilà

Merci d'avance pour votre aide.