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Sous espaces vectoriels en dimension finie
Bonjour à tous,
J'ai quelques problème pour le début de la résolution d'un exercice visant à démontrer le théorème de Cayley-Hamilton, voici l'énoncé
Soit E un IK - espace vectoriel de dimension finie et f 
Enf(E),
Pour tout vecteur u de E et p 
, on note Eup=Vect(fk,0
kp) et Eu = Vect(fk(u),k)
(1) Prouver que si Eup est stable par f alors Eup = Eu
En fait l'inclusion de Eup
Eu est vrai par définition, mais comment montrer l'inclusion dans l'autre sens?
(2)Prouver que la suite (Eup) est strictement croissante jusqu'à un rang r, puis constante pour p 
r
Merci à tous
Ici il y a donc deux cas :
Pour r = dim E
Si p < r : (Eup) (Eup+1) mais je ne vois pas comment le mettre en forme
Si pr : (Eup) = (Eup+1) mais c'est pareil je ne vois pas comment le mettre en forme
(3)En déduire que (fk)0kr est une base de Eu quel est la dimension de Eu?
Ici, d'après la question précédente, comme l'espace (Eup) est strictement croissant, tout vecteur de cet espace se décomposera de manière unique mais la justification est elle suffisante?
La dimension de Eu sera alors égale à r+1
Je pense qu'il y a une erreur dans ton énoncé .
On prend un élément x de E . On désigne par V(x) le sous-vectoriel de E engendré par {fk(x) | k } et , pour p entier 0 , par Vp(x) le sous-vectoriel de E engendré par {x,f(x) ,...,fp(x)} (càd K.x + K.f(x) +.....+ K.fp(x) . Il est clair que Vp(x) est contenu dans V(x) .
Si Vp(x) est f-stable alors fp+1(x) = f(fp(x)) f(Vp(x)) donc fp+1(x) Vp(x). Une récurrence semble s'imposer pour montrer que tous les fk(x) sont dans Vp(x) et donc que V(x) = Vp(x).
Il est clair que p 
Vp(x) est croissante donc aussi p dim(Vp(x)) .
Si E est de dimension finie cette dernière suite est majorée donc stationnaire .Pour montrer qu'il en est de même pour p Vp(x) il suffit de remarquer que si F et G sont 2 sv de même dimension et si l'un est contenu dans l'autre ils sont égaux.
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