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Sous espaces vectoriels supplémentaires
Bonjour, j'aurais besoin d'aide à propos d'une question que voici :
Trouver un supplémentaire dans K4[X] du ss-ev F=Vect((X-1),(X-1)^3)
Je ne sais pas quelle méthode employer donc si vous avez une indication merci d'avance...
Bonjour.
Tu sais que la famille : 1 ; (X-1) ; (X-1)2 ; (X-1)3 ; (X-1)4
est une base de IK4[X]
Donc, F = Vect((X-1) ; (X-1)3) et G = Vect(1 ; (X-1)2) sont supplémentaires
Merci beaucoup.
Je viens de comprendre que si l'on prend deux familles de vecteurs distinctes d'une base d'un Kev (sans laisser aucun autres vecteurs de la base), alors ces deux parties sont supplémentaires dans le Kev, c'est bien ça?
Oui.
Tu peux même faire la démonstration dans les cas général.
E un IK-ev de dimension n > 1, une base de E.
Posons :
Alors, tout x de E s'écrivant :
on a bien E = F + G
Par ailleurs, x 
F 
G 
Or, l'indépendance de entraine : pour tout i, xi = 0, donc, x = 0.
On en déduit que F G = {0}
Conclusion : E = F 
G
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