Bonsoir.

Les deux mots clefs : stabilité et fini. On suppose que H est non vide.

¤ Stabilité.

Soit a H

Considérons l'application G_a : H H définie par G_a(h) = ah

(On sait que l'ensemble des images est inclus dans H par stabilité).

G_a(h) = G_a(h') ah = ah' h = h' (dans le groupe G, on peut multiplier les deux membres de cette équation par a^-1)

Donc G_a est injective.

¤ H fini.

H étant fini, cette injection est donc une bijection et en particulier une surjection.

Donc,

1°) il existe a' dans H tel que G_a(a') = e ...

Essaie de poursuivre.

Il existe a' dans H tel que G_a(a')=e. Or, G_a bijective, c'est à dire injective et surjective, donc il existe un unique a' tel que aa'=e. Ainsi e appartient à H.
Dans G, en multipliant à droite par a^-1 on obtient a'= a^-1e

J'ai toujours un peu de mal ...

L'élément neutre est forcément dans H ?

variante  soit  x  dans  H  si  x = e  c'est dedans , sinon    y est aussi , et pour tout  n>0     est dans H comme  H  est fini, il existe  n différent de m  tels que    est dans  H (difficile de mettre une infinité de chausettes dans un nombre fini de tiroirs).
Mézalors    est dans  H  (notons que l'on peut parler des inverses dans G)

Pour montrer que e est dans H, cherche l'unique antécédent de a par G_a