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Sous groupe de GLn(C)
Bonjour,
une petite question qui provient d'une annale ENS. Si vous avez une piste pour m'aider, merci :
Soit G un sous groupe commutatif de GLn(C) tel que pour tout matrice M de G, M2=Id
Montrer que G est fini et majorer son cardinal.
Le mot commutatif semble important. Comme pour le centre de GLn(C) je pensais de prime abord, montrer que les matrices de G étaient des homothéties mais c'est une fausse route il me semble au final ?
Merci pour vos pistes.
Olivier
Salut. 
Joli exercice.
Pour tout , le polynôme
annule
, on en déduit donc que le polynôme minimal de
est scindé, donc les matrices de
sont diagonalisables, et leurs valeurs propres sont
et
.
De plus, toutes les matrices commutent 2 à 2, elles sont donc diagonalisables dans une base commune.
On en déduit que est conjugué à un sous-groupe de
inclus dans le sous-groupe des matrices diagonales dont les coefficients diagonaux sont
et
.
Combien y a-t-il de matrices dans ce dernier ?
Bonjour jeanseb.
Jolie résolution...
Merci.
on en déduit donc que le polynôme minimal de M est scindé
scindé à racines simples bien sur ...
En fait c'est bien plus général que ça...
Tout les sous-groupes de GL_n(C) d'exposant fini son fini... mais c'est un peu plus coriace...
J'ai un peu cherché sur Wikipédia, je crois que c'est le théorème de Burnside : 
C'est assez joli comme résultat, surtout qu'on ne suppose pas le sous-groupe commutatif. (d'ailleurs, je viens de m'en rendre compte, l'hypothèse de commutativité est automatiquement acquise dans cet exercice)
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