Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Sous-groupe de (Z;+)
Bonjour pouvez-vous m'aider à faire cet exercice ?
Soit H un sous-groupe de (Z;+) non réduit à {0}.
Démontrer qu'il existe un unique entier naturel n 
* tel que H = nZ.
Je dois montrer l'existence et l'unicité mais je ne sais pas du tout comment procéder 
Avez-vous des indications à me fournir ?
Merci par avance.
Bonjour.
Si H est un sous-groupe de (Z,+) non réduit à 0, cela signifie que dans H, il y a au moins un terme non nul : a.
H étant sous groupe, s'il contient a, il contient aussi son symétrique : -a.
H contient donc au moins un entier > 0.
Appelons b le plus petit entier strictement positif contenu dans H.
Pour tout x dans H, effectuons la division euclidienne de x par b :
x = b.q + r, avec 0 
r < b.
Donc, r = x - b.q
Maintenant, à toi :
1°) montre que r est dans H
2°) trouve la valeur de r
Je montre que r est dans H car tous les élement sont dans H et H est stable par la loi + puis r = 0 par définition de b.
Donc cela montre l'existence mais pour l'unicité je fais comment ?
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac