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Sous groupe fini de SL(R)
Bonsoir !
J'ai montré que pour un sous groupe fini de GL(E) il existe un produit scalaire p tels que tous les éléments de ce sous groupe son des transformations orthogoanles.
On considère maintenant un sous groupe G fini de SL2(
). J'ai aussi montrer que les sous groupes finis de (U,x) sont (Un,x) (racines de l'unité). Je n'arrive pas à montrer que G est cyclique.
Soit maintenant G un sous groupe de SL2(
) et u 
G.
Pour le produit scalaire p u est une transformation orthogonale et det u = 1, donc est ce que la matrice de u dans toute base B est de la forme
?
Si oui alors comme les coefficients de u sont entiers alors 
= 0 , 
/2 ou ?
Mais alors comment prouver alors que tout sous groupe de SL2() est de cardianal 1,2,3,4 ou 6 sachant que ici on a des groupes de cardinal 1,2 et 4 ?
Ne serais pas que Mat u est dans une certaine base de la forme
et donc que Mat u est équivalente à cette matrice, doù conservation de la trace donc 2cos={-2,-1,0,1,2}donc =0,+-/2,+-/3,+-2/3,.
Donc on a bien ici des groupes de cardinal demandé.
Voilà j'espère que c'est clair et merci de votre aide ! 
Je m'essaie...
L'argument que tu utilise pour SL(2,Z) peut être utilisé pour le sous-groupe fini de SL(2,R) : il y a un produit scalaire p pour lequel les éléments de G sont orthogonaux. Dans une base B orthogonale pour p, les éléments s'écrivent comme tu dis... De là à faire la jonction avec le groupe des complexes de module 1, il n'y a qu'un pas...
Par contre, je ne suis pas sûr que l'argument puisse être utilisé pour SL(2,Z), car rien ne te dit (a priori, mais bon...) que le produit scalaire possède une base orthogonale dont la matrice de changement de base soit dans GL(2,Z). A moins que je m'a trompé
Oui en fait pour le caractère cyclique c'est bon.
Et évidemment je pense qu'il existe une base dans laquelle la matrice de u est et non pas dans toutes bases
.
Est ce correct pour la suite ? Je dois (peux !) bien utiliser la trace pour conclure ?
Oups, je n'avais pas lu jusqu'au bout ton post, je m'étais arrêté au milieu. Le raisonnement est OK jusqu'au bout. Le seul truc qui n'allait pas, c'était de considérer que la matrice en cos et sin était dans SL(2,Z), ce qui n'était pas garanti. Par contre, la trace étant invariable par similitude, on peut l'utiliser...
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