Rebonjour
Commence à faire ce que tu peux.

j'ai une deuxième définition et je pense qu'elle sera plus simple
AB est un sous groupe de G
si AB
et xG (xAB), yG (yAB)

Or A sous groupe de G et B sous groupe de G donc A et B donc AB

J'ai oublié de mettre la deuxième condition
xG (xAB), yG (yAB)
xy^-1AB

Il faut exploiter les hypothèses et les propriétés que tu as.
Notamment le fait que X, Y AB (Xa, Xb) A*B  et (Ya, Yb) A*B tels que X = XaXb et Y=YaYb

et de la démontrer que XY^-1 AB
XY^-1=..........
je te laisse avancer.
A+

j'ai envie de dire que
xAB donc aA etbB ab=xAB
de même pour y avec A et B donc =y
ab()^-1=ab^-1-1
b^-1B
donc on a aB^-1 ça ressemble beaucoup à la définition d'un sous groupe normal je trouve!

on sait que l'on a
A normal pour G: xG xAx^-1=A
si on prend xAB  on peu écrire
x=xaxb
xAx^-1=A
xaxbA(xaxb)^-1=A
xaxbAxb^{-1[/supxa[sup]-1}=A
xaAxa=A
Mais ça ne sert à rien!

salut

soit x dans AB alors x = ab avec a dans A et b dans B

soit y dans AB alors y = cd ....

xy = abcd = abcb^-1bd

or A est normal dans G donc h = bcb^-1 est un élément h de A donc ah est un élément de A

d'autre part B est un groupe donc k = bd est un élément de B

donc xy = hk est dans AB


....

et ah est un élément de A et xy = ahk est un élément de AB ....

Oublie ton message posté à 10:12 continue là où tu étais arrivé à la fin du précédent:
<<
ab()^-1=ab-1-1
b-1B
donc on a aB-1 ça ressemble beaucoup à la définition d'un sous groupe normal je trouve!
aB-1B ça ressemble beaucoup à la définition d'un sous groupe normal je trouve!
>>
Oui mais quoi qu'il en soit il faut toujours garder à l'esprit ce que tu recherches. Et ici en l'occurrence c'est de démontrer que ab()^-1 AB
Et là il faut utiliser la normalité de B: xB=Bx
puisque (b-1^-1Balpha[/smb]^-1, il existe c B tel que
(b-1^-1 = alpha[/smb]^-1c
PS: "c" n'est pas forcément égal à "b^-1"
Ainsi :
xy^-1=ab^-1-1=a^-1c
Je te laisser terminer...

Pardon pour les fautes de frappe. Je te propose d'essayer de recopier ce que j'ai écrit correctement. Autre faute de frappe, c'est dans mon PS, je voulais écrire b^-1

Bonjour Carpediem.
Comment vas-tu.
Pardon, je n'avais pas vu que tu avais repris la suite.

bonjour abou-salma

je vais bien, et toi ?


pas de pb ....

Ma foi pas trop mal par le beau soleil ici à Beyrouth.
A+

à Beyrouth ... alors profites-en bien ...

ici aussi le ciel est bleu ... mais surement un peu plus frais (il a gelé ce matin ....)

enfin je vais pouvoir finir de bécher et retourner mon jardin pour l'hiver .... _{^{qui n'est pas là ....}}

Bonjour
J'ai compris l'explication de Carpediem mais j'ai un problème avec le message poste à 10h47 car
Oui mais quoi qu'il en soit il faut toujours garder à l'esprit ce que tu recherches. Et ici en l'occurrence c'est de démontrer que ab()-1  AB
Et là il faut utiliser la normalité de B: xB=Bx
puisque (b-1-1Balpha[/smb]-1, il existe c B tel que
(b-1-1 = alpha[/smb]-1c
mais B n'est pas normal? donc on ne peut pas utiliser cette hypothèse

j'ai une deuxième question (désolé!)
Montrer que si l'on a les trois conditions suivantes
A normal à G, B normal à G, Ab=1
Les sous groupes A et B commutent éléments pas éléments
le problème est que dois-je montrer que les éléments de A commutent entre eux et de même pour B
ou dois-je montrer que les éléments de A commutent avec les éléments de B?

je n'utilise pas la normalité de B mais de A

avec ce que j'ai fait il reste à montrer que l'inverse d'un élément de AB est dans AB

soit x = ab un élément de AB alors

x^-1 = b^-1a^-1 = (b^-1a^-1b)b^-1

or A est normal dans G donc (....) est un élément h de A et B est un groupe donc b^-1 est dans B

donc x^-1 = hb^-1 est un élément de AB




pour ton dernier post il faut montrer que ab = ba

> Lau
"mais B n'est pas normal? donc on ne peut pas utiliser cette hypothèse"
En effet, ma démo est pour un B normal et non pour A.
Ceci étant dit tu peux l'adapter en prenant x^-1y en lieu et place de xy^-1
<<
(ab)^-1=b^-1a^-1
a^-1A
Et là il faut utiliser la normalité de A: xA=Ax
puisque b^-1a^-1b^-1A, il existe cA tel que
b^-1a^-1 = cb^-1
PS: "c" n'est pas forcément égal à "a^-1"
Ainsi :
x^-1y=(ab)^-1=c(b^-1) AB
>>

En conclusion, de cette démo et de la précédente, il suffit que A ou B soit normal pour que AB soit un sous-groupe

Pour la question de la commutativité entre les éléments de A et de B
on sait que AB=1 donc A et B
Or A et B sont normal dans G donc xG xx^-1==
avec A et B donc == car le seul élément qui est dans A et dans B est
d'ou x=x
Donc xA, yB
Comme A et B sont des sous groupes xA et yB
D'ou aA et bB ab=xy=xy
est ce que je suis bien partie?

trivialité puisque = 1

...................................

et donc tout faux ...

on sait d'après la question 1 qu'un élément de AB s'écrit ab avec aA et bB donc
(ab)^-1AB
(ab)^-1=b^-1a^-1=(y)^-1(x)^-1
car B sous groupe de G donc comme yB alors (y)^-1B De même pour A
D'ou (ab)^-1=y^-1-1-1x^-1

je démoralise vraiment....

Il faut que j'arrive à montrer que
aA bB ab=ba

Bonsoir Lau
Ton idee est bonne. Je m en suis inspire
soit (a,b) AxB
Comme A et B sont normaux
(c,d) AxB
tel que
ab=da=bc

Nous devons demontrer que d=b (et du coup c=a), ou en d'autres termes b^-1d=1
b^-1d=ca^-1
Or b^-1d B
et ca^-1 A
.............. Je te laisse terminer

ha oui bien vu

....

enfin ....

Pourquoi on a le droit de dire que ab=da=bc?
c'est parce qu'on les pose au départ?

Or AB=1 donc b^-1d=1 d'ou b=d de même pour c=a
donc les éléments de A et B communtent

En tout cas je vous remercie beaucoup parce que j'ai pas arrêté de vous embéter tout le week end! et vous m'avez toujours répondu! mais là j'abandonne on verra ce que ça donnera demain! bonne soirée! Encore Merci
Laurine

"Pourquoi on a le droit de dire que ab=da=bc?"
Comme A est normal, Ab=bA c A tel que ab = bc
Comme B est normal, Ba=aB d B tel que ab = da


Bonne soirée Lau, bonne soirée Carpediem

là c'est clair ...

bonne soirée ....