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sous groupes compact de C
Bonjour à tous.
Alors voilà, j'ai un petit problème avec les sous groupes de (U,x) (où u est le groupe des complexe de module 1
en deux questions :
Quels sont les groupes fermés de U
=> ce sont les groupes Um (les groupes de puissance n-ièmes de l'unité )
car, j'ai (U,x) isomorphe à (R,+)
or les sous groupes de (R,+) sont soit de la forme aZ avec a>0
soit il sont dense dans R
j'en ai déduit que nécessairement un sous groupe fermé de U est isomorphe à aZ avec a>0 et donc que c'est un groupe racine n-ieme de l'unité.
ensuite, on me demande quels sont les sous-groupes compact de (C*,x)
=> pour moi, ce sont justement les groupes Um
Um est fermé borné donc, il est compact (on est en dim fini)
par contre, pour la réciproque ...
je sais déjà que le sous groupe doit être fermé et borné. mais, comment montrer que seuls les Um conviennent ?
j'ai pensé à decomposé C* en R*+ x U mais, je ne vois pas trop comment l'utiliser
encore merci
Ben tu as déjà U tout entier qui est fermé borné . Ensuite si z est dans un groupe alors ses puissances aussi et c'est pas toujours borné...ni fermé
je fait un distinction de cas, soit z dans H un sous groupe de C*,x
si |z|>1, on a z^n -> +infini donc, H pas borné
si |z|<1 , z^n->0 or, O n'est pas dans C*, donc H pas fermé
ainsi, nécéssairement, |z|=
donc, H est un sous groupe fermé de U ie, c'est un Um ou U
=)
merci beaucoup
Bonjour,
juste une remarque l'argument fermé borné=compact car on est en dimenion finie est un peu douteux ici... On ne travaille pas avec des espaces vectoriels, mais avec des groupes (des groupes metriques...)... SI tu prends B={z dans C* tq |z|<=1} alors il est fermé borné mais non compact...
oui, effectivement...
mais alors, pour qu'un groupe soit compact, il faut revenir à la définition et dire que toutes les suites admettent au moins une valeur d'adhérence ???
au moins, le fermé et borné est une condtion nécéssaire.
après, on peut écarter les cas ou |z|< 1 en trouvant une suite qui tend vers 0 'donc, il n'est pas compact)
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