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sous-groupes de Sylow
Bonjour,
Je cherche à déterminer les 2 et 3-Sylow du groupe des permutations d'ordre 4 ( de cardinal 4! = 23*3)
En utilisant le théorème de Sylow II, on trouve qu'il existe 3 2-Sylow de ce groupe. Chaque 2-Sylow étant de cardinal 8 ... comment déterminer ces maudits 2-Sylow?
merci
Bonjour
Il s'agit de groupes diédraux .
Comme dans il n'y a pas d'élément d'ordre 8, il faut commencer par regarder les sous-groupes d'ordre 8 contenant un élément d'ordre 4. On tombe vite dessus!
ah oui.. euh bas les éléments d'ordre 4 ca ressemble aux 4-cycles et aux doubles transpositions non?
en fait les 3 2-Sylow sont les sous groupes engendrés par un 4-cycle et une transposition si je ne m'abuse?
ah oui on a aussi les 4-cycles composés avec une transposition en fait...
->Que veux-tu dire? Une telle composée donne soit un 3-cycle, soit une double transposition.
je dis des bétises c'est clair je me noie :p
Soit P un 2-Sylow de S4
Donc on regarde les éléments d'ordre 4 un qui me vient à l'esprit c'est : r = (1234)
On peut composer par lui même, ca donne encore un élément de P
r² = (13)(24) , r^3 = (1432) et r^4 = id
Donc là on a déja 4 éléments de P.
et après pour trouver les autres on compose avec une transposition et normalement ca devrait rester dans P non?
On va composer ces 4 éléments avec chacune des transpositions (12), (13), (23) et hop on va avoir les 3 2-Sylow à 8 éléments qu'on veut je crois puisqu'il faut qu'on tombe sur le groupe diédral 
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