Bonjour

Une matrice inversible de GLn((Z) est de déterminant 1 ou -1, donc son déterminant reste inversible dans Z/pZ.

Question supplémentaire : dans quel livre pourrais-je trouver une démonstration de ce résultat ?

Haaaaaa merci Camélia pour cette réponse éclair !!

Je n'avais même pas pensé que le déterminant ne pouvait pas être n'importe quel entier...

Ok, j'ai réussi à montrer que l'ordre s'un sous groupe de GL_2(Z) divise 48. Mais peut-on expliciter ces sous groupes, ou les dénombrer ?

Bonjour, c'est assez clair que la matrice reste inversible si tu la rdéuit modulo p plus generalement un morphisme d'anneau entre deux anneaux A et B envoie GL(A) sur GL(B), il suffit d'ecrire que pour deux matrices m et n on a mn=1.

SInon pour montrer que GL(n,Z)->GL(n,F_p) st une injection pour p>2. Prends un element du noyau, noté disons h alors h=1+pj pour j dans M(n,Z), étudie le polynome caractéristique de h et de j et montre que j=0.

J'ai dit envoie GL(A) sur GL(B), j'aurai du dire dans GL(B), il n'y a pas de raison qu'il soit surjectif.

Oui oui, je l'ai fait ça.

Maintenant, je me demandais s'il y avait moyen de pousser un peu plus loin l'étude des sous groupes finis de GL_2(Z), en plus de dire que leur cardinal divise 48...

Ben on connait tous les groupes d'ordre plus petit que 48 me semble-t-il(tous les simples cest sur les autres je pense quand meme aussi)...donc il faut regarder lesquels on peut realiser comme sous groupe de GL(2,Z)...

Il peut donc y a voir des groupes d'ordre 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 48, ce qui fait 1+1+1+2+2+5+5+5+15+52=89 groupes différents... je ne sais pas comment voir s'ils sont réalisés dans GL_2(Z).