Bonsoir.

1°) As-tu prouvé la linéarité ?

2°) On cherche Ker()

P Ker() F.P = G.Q

Comme F et G sont premiers entre eux, le théorème de Gauss prouve que G divise P.

Par les degrés : P = O

donc, Ker() = {O}. Comme on travaille en dimension finie : est un automorphisme.

3°) J'ai une piste, mais je ne parviens pas à conclure correctement.

Soit une valeur propre de : il existe P non nul tel que :

F.P = G.Q + .P

Si a est une racine de G : F(a).P(a) = .P(a)

Ici, je ne trouve pas l'argument autorisant à simplifier par P(a). Si on le découvre, alors :

= F(a), où a est racine de G

On remarque que, comme F et G sont premiers entre eux, les valeurs propres sont bien non nulles.

En fait j'avais traîté les questions précédentes, c'est justement le 3°) qui me posait problème. Bah pourquoi on n'aurait pas le droit de simplifier par P(a) ? Enfin ça me paraît une excellente piste, je simplifierais sans hésiter (sûrement par incompétence, mais bon...)

Le problème est que l'on ne peut simplifier que si P(a) est non nul.

J'ai trouvé la justification.

a) Si a n'est pas racine de P : terminé. On simplifie par P(a) et on trouve bien = F(a).

b) Si a est racine de P, alors, P(X) = (X-a)^rP'(X) et G(X) = (X-a)^sG'(X)

On réécrit la définition :

F(X).(X-a)^rP'(X) = (X-a)^sG'(X).Q(X) + .(X-a)^rP'(X)

¤ Si r s, on simplifie :

F(X).P'(X) = (X-a)^s-r.G'(X).Q(X) + .P'(X)

Pour X = a : F(a).P'(a) = .P'(a)

P'(a) étant non nul, c'est terminé.

¤ Si r > s, on simplifie :

F(X).(X-a)^r-sP'(X) = G'(X).Q(X) + .(X-a)^r-sP'(X)

Ceci impose que Q(X) admet la racine a, avec une multiplicité t s-r : Q(X) = (X-a)^tQ'(X)

En reportant et en simplifiant :

F(X).P'(X) = G'(X).(X-a)^u.Q'(X) + .P'(X)

Et, en remplaçant X par a, on retrouve bien la conclusion.