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Ss anneau d'un anneau noetherien
Bonjour,
il est bien connu qu'un ss module d'un module noetherien est noeth. Il n'en est pas de meme pour un anneau noeth. On peut en effet construire un ss anneau de C qui ne soit pas noeth.
Je me demandais si cela restait vrai pour les k-algebres.
Peut on construire une sous algebre d'une k-algebre noeth, qui ne soit pas noeth. Intuitivement j'ai envie de dire non. Mais je bloque sur la preuve.
Merci d'avance.
C'est une Q-algebre. Mais ca n'aide pas trop, si?
Je peux donner le c.ex. On prends un nombre denombrable d'elements transcendants de C sur Q (notons les Ti) qui soient alg independants. Alors Q[Ti] est un sous anneau de C non noetherien, alors que C est lui meme noeth.
En effet, ça n'aide pas parce que C est bien un anneau noetherien mais pas une Q-algèbre noetherienne.
Au fait, qu'appelles-tu algèbre noetherienne? Toute suite croissante de sous-algèbres est stationnaire? Si c'est ça, comme les sous-algèbres sont des sous-modules, je dirai que je pense plutôt que c'est vrai!
Oui c'est bien ce que j'appelle une algebre noeth. J'avais pense aussi au fait que ce soit des modules, mais en fait est ce qu'on a un theoreme du style
0->A'->A->A"->0
une suite exacte d'alg noeth alors A est noeth ssi A' et A" sont noeth.
On a ce theo pour les modules. Je me demande si on ne peut pas tt simplement calquer la demo.
C'est plus compliqué que ça! Il n'y a pas de suite exacte d'algèbres... Pour les anneaux les suites exactes sont avec un idéal au début, mais alors on perd une partie de la structure...
Ta notion est un peu batarde... En général on prend un anneau A, on regarde les A-modules, il se trouve que les idéaux sont des A-modules (mais pas des sous-annneaux) et on dit que A est noetherien s'il l'est en tant que A-module. Les sous-algèbres d'une algèbre, sont des k-modules ET des sous-anneaux mais pas des idéaux de l'algèbre...
Finalement je n'en sais rien... je réfléchirai encore!
Oui non effecticement on a pas la suite exacte, mais en fait pour le coup on se fiche du quotient, puisqu'ici une suite croissante de sous k-alg de A' donne une suite croissante de sous k-alg de A puisqu'on a pas besoin de la stabilite par l'action de A (une sous k-alg n'est pas forcement un ideal). C'est a dire que les sous k-alg de A' sont toutes des sous k-alg de A (ce qui n'est pas le cas avec des anneaux, les ideaux de A' ne sont pas des ideaux de A)
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