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Structures de groupe, sous-groupes

Posté par
jthessa 13-10-08 à 21:43

Bonjour à tous,

Je ne sais comment aborder ni résoudre cet exercice :

L'objet est de prouver qu'il existe un groupe (G, .) d'élément neutre e, satisfaisant aux conditions suivantes :

I)  il existe dans G deux élément a et b, distincts et différents de e, tels que la partie A={a,b} engendre G
II)  a2=b2 et a2e
III) a.b.c.=b
IV)  a4=b4= e
(Il est rappelé que, pour tout élément x de G, on définit xn comme suit:
x0= e ; (n)xn+1=xn.x ; (n*)x-n=(xn)-1)

1 ) Montrer que G est un groupe à 8 éléments dont on donnera la table de Pythagore(on pourra désigner respectivement par c et d les éléments a.b et a2
2 ) Déterminer tous les sous-groupes du groupe (G, .)

Merci de m'apporter de l'aide

Posté par
franzre : Structures de groupe, sous-groupes 14-10-08 à 01:09

Je pense que l'énoncé est :

III) a.b.a=b


Cherchons l'ensemble des éléments générés par a seul : A=\{a, a^2=d, a^3=a^{-1}, a^4=e\}

Cherchons les éléments générés par b seul : B=\{b, b^2=d, b^3=b^{-1}, b^4=e\}

Montrons que G=\{e,a,b, d, a^{-1},b^{-1} , ab=c, ba=c^{-1}\}

(en effet (ab).(ba) = a.b^2.a = a.a^2.a=a^4=e)


3$a.e=a
3$a.a=d
3$a.b=c
3$a.d=a^{-1}
3$a.a^{-1}=e
3$a.b^{-1}=a.b^3=a.b.b^2=a.b.a^2=(a.b.a).a=ba=c^{-1}
3$a.(ab)=a^2.b=b^2.b=b^3=b^{-1}
3$a.(ba)=a.b.a=b

G est stable par composition à gauche par a

de même G est stable par composition à droite par a (les points délicats sont
3$b^{-1}.a=b^3.a=b^2.b.a=a^2.b.a=a.(a.b.a)=a.b=c
3$(ba).a=b.a^2=b^3=b^{-1})

de même G est stable par composition à droite et gauche par b donc la table de Pythagore de G est

4$\red\array{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|$ \hline \hspace{5}\nearrow.\hspace{5}& &\hspace{5} e\hspace{5} & \hspace{5} a\hspace{5} &\hspace{5} b \hspace{5}&\hspace{5} c &\hspace{5} d \hspace{5}&\hspace{5} a^{-1}\hspace{5} &\hspace{5} b^{-1}\hspace{5} &\hspace{5} c^{-1}\hspace{5} \\ \hline \\ \hline e & & e & a & b & c & d & a^{-1} & b^{-1} & c^{-1} \\ \hline a & & a & d & c & b^{-1} & a^{-1} & e & c^{-1} & b\\ \hline b & & b & c^{-1} & d & a & b^{-1} & c & e & a^{-1} \\ \hline c & & c & b & a^{-1} & d & c^{-1} & b^{-1} & a & e \\ \hline d & & d & a^{-1} & b^{-1} & c^{-1} & e & a & b & c \\ \hline a^{-1} & & a^{-1} & e & c^{-1} & b & a & d & c & b^{-1} \\ \hline b^{-1} & & b^{-1} & c & e & a^{-1} & b & c^{-1} & d & a \\ \hline c^{-1} & & c^{-1} & b^{-1} & a & e & c & b & a^{-1} & d \\ \hline }

Posté par
franzre : Structures de groupe, sous-groupes 14-10-08 à 01:12

Tu peux montrer que les sous groupes strictement inclus dans G sont

\{e\} , \{e,d\}, \{e,d,a,a^{-1}\}, \{e,d,b,b^{-1}\} et \{e,d,c,c^{-1}\}

Posté par
jthessaStructure de groupe, sous-groupes 14-10-08 à 07:37

Bonjour Franz,

Merci beaucoup pour ton aide précieuse qui me montre comment aborder ce type d'exercice.
Je pense que j'ai encore beaucoup de chemin à faire ... pour maîtriser les concepts ensemblistes de l'algèbre, en MPSI.

Effectivement j'avais fait une erreur dans la rédaction de la condition III) de l'énoncé, malgré ma relecture ...

Cordialement,


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