Est-il bon d'écrire :

On a  w₁[a,u], V_a^u(f)>V_a^u-ε/2
et smb]ilexiste[/smb]w₂[u,v], V_u^v(f)>V_u^v-ε/2
Donc w[a,v], w=w₁+w₂ tel que V(f,w)>V_a^u(f)+V_u^v(f)-ε. (Car V(f,w )=V(f,w₁)+V(f,w₂))
C'est juste?

en fait il me reste plus que 2 questions, j'espère que ça t'embètes pas trop, en tout cas ton aide m'est précieuse.

C'est à peu près juste mais tu n'as pas respecté les notations:

* w1 n'appartient pas à [a;u], c'en est une subdivision, de même pour w2.

* C'est plutôt V(f,w1) > Va,u(f) - eps/2

et idem pour w2.

Puis insiste bien sur le fait qu'on appelle w la subdivision de I obtenue en réunissant w1 et w2.

Ah oui excuse moi, j'ai oublié pour les appartenances des subdivision les Ω, pour le reste c'éatait des fautes de frappe.

Peut-on voir w comme la réunion de w₁ et de w₂, au lieu de le voir comme une somme?

Ni l'une ni l'autre, ce serait plutôt la "concaténation" pour adapter un mot d'informatique.

Mais le mieux est de détailler les subdivisions par des lettres, puis de dire que machin est une subdivision de w sur laquelle l'inégalité attendue est vérifiée.

une subdivision de [a;v] plutôt, pardon.

Il faut alors en déduire que V_a^v(f)=V_a^u(f)+V_u^v(f). (ce sont ici les Sup)

J'ai déja l'inégalité inférieur ou égal, donc il me reste à démontrer le supérieur ou égal.
J'ai remarqué qu'il faut se servir V(f,w)>V_a^u(f)+V_u^v(f)-ε, mais je ne vois pas comment.

Par définition même de la borne sup en fait:

en faisant tendre eps vers 0 on obtient bien l'inégalité large cherchée.

On donc l'inégalité au sens large dans les deux sens, et donc l'égalité.

oui, mais à la derniere étape il faut majorer V(f,w ) par la borne Sup, non?

Non:

si pour tout epsilon > 0, il existe w d'un ensemble (qui est ici celui des subdivisions de I) tel que le nombre V(f,w) soit supérieur à M - eps (où M est une constante fixée, ici la somme des constantes du membre de droite),

alors la borne sup de l'ensemble des V(f,w) est supérieure ou égale à cette constante M.

Ensuite soit fVB(I), φ:I,xSupV_a^x(f) et ψ=φ-f.
Montrer que φ et ψ sont croissantes sur I.

J'ai fait :
D'après la première question, on avait SupV_c^d(f)SupV_a^b(f), donc en remplaçant c par a, d par x et b par y (où xy), alors on a :
SupV_a^x(f)SupV_a^y(f), donc f croissante sur I.
Par contre pour ψ je sais pas comment procéder.

Je ne comprends pas la définition de phi:

je veux bien qu'à tout x on associe Va,x(f), mais le sup sur quoi??

Je t'es juste retranscrit l'énoncé tel quel, après je ne sais pas.

Aaah peut-être veux-tu dire le sup sur l'ensemble [a;x] de la fonction f?

Le [a;x] est-il écrit en-dessous du mot Sup?

Ah ben non cela ne veut rien dire puisqu'il y a bien Va,x(f).

C'est un nombre ça, et il ne dépend que de a,x, et f!
Il n'y a donc plus lieu de prendre le sup!

Non puisque sur l'énoncé il est en fait écrit seulement V_a^x(f), mais j'ai précisé le mot Up pour éviter la confusion du début.

c'est la réponse à ton post de 17h22...

Ah bon, tu me rassures dans ce cas, ça n'aurait pas eu de sens sinon!

Bon je regarde ça alors.

Alors c'est bon pour phi.

Pour Psi tout est évident, il suffit d'écrire!
Tu prends y > x et tu dois prouver que Psi(y) - Psi(x) > 0.

Détaille cette expression par rapport à phi et f, à quoi cela équivaut-il?

ψ(x)-ψ(y)=φ(x)-φ(y)+f(y)-f(x)

Il vaut mieux prendre l'opposé puisque y > x.

Donc que faut-il démontrer?

Et comment simplifier phi(y) - phi(x) ?

Mais je ne connais pas la monotonie de f

Elle est inutile ici.

Tu as les réponses à mes questions?

Non, je sais juste que ψ(y)-ψ(x)=φ(y)-φ(x)+f(x)-f(y)

Reviens à la définition de phi(y) et de phi(x).

ok je vois, je vais voir ce que ça donne...

J'ai tout en fonction de f, mais je n'arrive pas à montrer que c'est supérieur à 0

Donne-moi déjà ce à quoi tu es arrivé: que s'agit-il de démontrer ?

J'arrive à  ψ(y)-ψ(x)=SupV_a^y(f)-SupV_a^x(f)+f(x)-f(y)

Après dire que  ψ(y)ψ(x) c'est autre chose

Comment simplifier Va,y(f) - Va,x(f)?

ah, c'est égal à Vx,y(f)

Voilà!

Donc que faut-il démontrer?

Que Vx,y(f)+f(x)-f(y)0

Oui.Or c'est évident, on l'a déjà fait.Je te laisse trouver où.

Isole donc Vx,y(f)!

Ah ok, d'après la question 1, on a Vx,y(f)|f(y)-f(x)|f(y)-f(x).
Contrairement à Phi, cette fois ci j'avais pas penser à réutiliser la question 1..

Voilà!

Conclusion finale:

toute fonction à variation bornée sur un segment est différence de deux fonctions croissantes.

Comme toute fonction croissante et toute somme de fonctions croissantes est aussi à variation bornée, on peut en déduire que l'ensemble des fonctions croissantes est une partie génératrice de l'espace vectoriel des fonctions à variation bornée.

Un résultat classique sur les fonctions monotones permet d'en conclure qu'une fonction à variation bornée admet un nombre au plus dénombrable de points de discontinuité, et qu'elle est dérivable presque partout.

J'aurai une toute dernière question, la voici :
Soit fF(I,). Montrer que fVB(I) ssi f est la différence de deux fonctions croissantes.

Pour le droite gauche, je fais :
On suppose que f est la différence de deux fonctions croissantes et on pose f=g-h, où g et h sont croissantes.
Donc d'après ce qu'on a démontrer au début, (g,h)VB(I)² et donc (g-h)VB(I).

Après pour le droite gauche je trouve ça plus compliqué.

Lol, c'est exactement la teneur de mon message précédent!

Tu as prouvé à la question d'avant que si f est à variation bornée, alors f = phi - psi où phi et psi sont croissantes...non?

euh.. lol

Alors je n'ai pas du saisir l'intégralité de ton message.

Ah oui je suis bête, le sens gauche droite découle directement de la question précédante.

Mais Phi et Psi sont deux fonctions en particulier, cela suffit-il à montrer que si fVB(I), alors f est (obligatoirement) la différence de deux fonctions croisantes?

f étant fixée, la question d'avant a défini phi et psi en fonction de f, donc la réponse est oui.

Donc si f est définie à partir de 2 autres fonctions qui dépendent de f, alors ça marche tout le temps, mais si f est définie avec 2 autres fonctions indépendantes de f, alors la demonstration serait incomplète, c'est bien ça?

Pardon?Je ne te comprends pas!

D'après une question précédente, g-h est à variation bornée puisque g et h le sont (elles sont monotones) et que -h est une fonction du type k.h avec k réel.

Ainsi toute différence de fonctions croissantes est à variation bornée.

Réciproquement, pour toute fonction f à variation bornée, la question 6 (je crois) a montré l'existence de deux fonctions croissantes phi et psi telles que f = phi - psi.

Ainsi toute fonction à variation bornée est différence de deux fonctions croissantes.

Que veux-tu de plus?

Je voulais savoir si on pouvais avoir aussi que f puisse être la différence de 2 fonctions décroissantes, par exxemple.

Oui puisque -f sera aussi à variation bornée, donc différence de deux croissantes, donc f sera différence de deux décroissantes.