Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Suite récurrente linéaire d'ordre 3

Posté par
gui_tou 19-04-08 à 18:31

Bonjour à tous

Citation :
On note 3$\rm E l'ensemble des suites réelles 3$\rm u qui vérifient l'égalité (e) :

3$\rm\fbox{ (e) : \forall n\in\mathbb{N},\;u_{n+3}=(2\cos\theta+1)u_{n+2}-(2\cos\theta+1)u_{n+1}+u_n où 3$\rm\theta\in]0,\pi[

Déterminer les suites géométriques non nulles à valeurs réelles ou complexes qui vérifient l'égalité (e).

>> Celles qui vérifient (e) sont des suites géométriques de raison : 1, 3$\rm e^{i\theta}, 3$\rm e^{-i\theta}.

En déduire trois suites réelles non nulles éléments de 3$\rm E notées u, v, w telles que la famille (u,v,w) soit libre dans 3$\rm E.


Bon, 3$\rm\|\forall n\in\mathbb{N},\;u_n=1\\\forall n\in\mathbb{N},\;v_n=\cos(n.\theta)\\\forall n\in\mathbb{N},\;w_n=\sin(n.\theta)

Mais pour montrer que cette famille est libre, j'ai un petit doute.

Soit 3$\rm (\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2)\in\mathbb{R}^3 tel que 3$\rm \lambda_0.u+\lambda_1.v+\lambda_2.w=0. On montre que 3$\rm\lambda_0=\lambda_1=\lambda_2=0

n=0 donne 3$\rm\fbox{\lambda_0+\lambda_1=0

Après, je vois pas comment trouver d'autres équations ... à moins de choisir 3$\rm\theta=\fr{\pi}{2, là je trouve ce qu'il faut.

D'où ma question : 3$\rm\theta est-il supposé fixé dans 3$\rm ]0,\pi[ auquel cas je ne peux pas choisir theta tel qu'il m'arrange ; ou bien je me pose trop de questions ?

Merci

Posté par
gui_toure : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 20:04

Apparament, j'aurais le droit de choisir theta comme je veux Profitons-en, c'est pas tous les jours ^^

Posté par
gui_toure : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 21:20

Pourtant là, j'ai soigné le marketing, Romain n'a rien à redire

Posté par
perroquetre : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 21:26

Bonsoir, gui_tou

Non, tu n'as pas le droit de choisir theta comme tu veux, theta est un élément fixé de ]0,pi[.
Pour montrer que la famille est libre, prends n=0 (tu l'as déjà fait ), puis n=1, enfin n=2.
Tu obtiens un système de 3 équations à 3 inconnues dont le déterminant ...

Posté par
gui_toure : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 21:39

Bonsoir perroquet, et merci de répondre

Je me disais bien ... c'était trop facile.

n=1 donne 3$\rm\fbox{\lambda_0+\lambda_1\cos(\theta)+\lambda_2\sin(\theta)=0

n=2 donne 3$\rm\fbox{\lambda_0+\lambda_1\cos(2\theta)+\lambda_2\sin(2\theta)=0

Attention j'avance désormais sur un terrain glissant, mon jargon n'est surement pas approprié..

Je dois diagonaliser la matrice : 3$\rm \(\array{1&1&0\\1&\cos(\theta)&\sin(\theta)\\1&\cos(2\theta)&\sin(2\theta)\)

Pour ce faire, je ne connais que la méthode du pivot.

Je vais tenter, merci perroquet

Posté par
perroquetre : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 21:46

Si tu ne sais pas calculer le déterminant   ,(qui n'est pas au programme de PCSI) c'est effectivement plus pénible ... mais c'est faisable .
Bon courage.

Posté par
ottore : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 21:47

qui n'est pas au programme de PCSI
Hein ????
C'est une blague ?

C'est bien dommage sinon...

Posté par
gui_toure : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 21:51

Ne vaudrait-il pas : 3$\rm \|\cos(\theta)\;\sin(\theta)\\\cos(2\theta)\;\cos(2\theta)\|-\|1\;\sin(\theta)\\\1\;\sin(2\theta)\| ?

Posté par
perroquetre : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 21:54

Bonsoir,  otto

Après consultation rapide du programme de PCSI:

la théorie des déterminants est limitée au cas des espaces de dimension 2 ou 3.
(En Spé PC ou PSI, par contre, elle est au programme.)

Donc, gui_tou,  ne sort pas du programme de PCSI s'il calcule un déterminant 3x3. Mais il faut encore que son prof l'ait fait.

Posté par
gui_toure : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 21:57

Salut otto

Je ne connais pas le programme officiel ; cela dit on a vu la notion de déterminant quand on a fait de la géométrie dans l'espace.

Le déterminant vaut : 3$\rm\cos(\theta).\cos(2\theta)-\cos(2\theta).\sin(\theta)-\sin(2\theta)+\sin(\theta) ?

Ca vaut la peine de le simplifier ?

Posté par
perroquetre : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 21:57

Pour gui_tou, la réponse est  oui, à condition de rectifier la petite erreur typographique dans le premier déterminant, le deuxième élément de la deuxième ligne est  \sin 2\theta

Posté par
gui_toure : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 21:58

Si si je confirme on en a fait. (ça remonte, je sors mes cours ..)

Posté par
gui_toure : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 22:00

Toutafé perroquet, bien vu.

Le nouveau déterminant vaut donc : 3$\rm\cos(\theta).\sin(2\theta)-\cos(2\theta).\sin(\theta)-\sin(2\theta)+\sin(\theta)

Posté par
perroquetre : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 22:04

Et     3$\cos\theta\sin(2\theta)-\cos(2\theta)\sin\theta =\sin(2\theta-\theta)  

Posté par
gui_toure : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 22:05

soit : 3$\rm 2\sin(\theta)\[\cos(\theta)-1\] sauf erreur.

Posté par
perroquetre : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 22:06

Exact  

Posté par
gui_toure : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 22:08

Ok !

Maintenant je sors les grosses formules pour trouver mes lambda ?

Posté par
perroquetre : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 22:10

Le déterminant étant non nul, le système admet une unique solution Il est facille de vérifier que cette unique solution est  (0,0,0).

Posté par
gui_toure : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 19-04-08 à 22:17

Ah voui.

Je pensais dire :

4$\rm \lambda_0=\fr{\|0\;\;\;1\,\;\;\,\;\;\;0\\0\;\cos(\theta)\; \,\sin(\theta)\\0\;\cos(2\theta)\;\sin(2\theta)\|}{2\sin(\theta)\[\cos(\theta)-1\]  ça marche mais c'est sans doute inutile.

...

Donc cette famille est libre

Merci beaucoup perroquet
Et otto aussi ^^

Posté par
carpediemsuite récurrente linéaire d'orde 3 20-04-08 à 19:20

tu peux tout simplement résoudre le système en utilisant les formules de duplication de trigo. ça vient tout seul
  avec un peu de retard

Posté par
gui_toure : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 20-04-08 à 19:56

salut carpediem

C'est vrai, c'est vrai, mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?

D'ailleurs je me suis trompé pour le déterminant : c'est 3$\rm%202\sin(\theta)\[1-\cos(\theta)\]

Posté par
infophilere : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 20-04-08 à 20:02

Tu voulais pas dire "inverser" au lieu de "diagonaliser" ?

Posté par
gui_toure : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 20-04-08 à 20:05

J'ai surtout dit :

Citation :
Attention j'avance désormais sur un terrain glissant, mon jargon n'est surement pas approprié..


Ok, j'ai donc inversé une matrice ?

Posté par
carpediemsuite récurrente linéaire d'orde 3 20-04-08 à 20:10

salut gui_tou

pour le plaisir, l'efficacité et l'esthétique...
bof

Posté par
gui_toure : Suite récurrente linéaire d'ordre 3 21-04-08 à 12:22

Le but de l'exo était d'exprimer 3$\rm s_n vérifiant l'égalité (e) et les conditions : 3$\rm\|s_0=0\\s_1=1-\cos\theta+\sin\theta\\s_2=2\sin\theta(\cos\theta+\sin\theta)

Et je trouve bien 3$\rm\fbox{\fbox{\forall n\in\mathbb{N},\;s_n=1-\cos(n\theta)+\sin(n\theta)

Merci à vous


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !