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suites
Bonsoir , j'ai l'exercice suivant :
Soient (Un) et (Vn) les suites définies par u0 = 1 , v0 = 2 pour tout n appartient à N .
U(n+1) = (Un+2Vn)/3
V(n+1) = (Un + 3Vn)/4
1.Montrer que la suite wn = un - vn est géométrique et préciser sa limite .
Alors je vais essayer un raisonnement par récurrence : pour n = 0 , on a :
u0 = 1 , v0 = 2 , donc w0 = -1 , c'est une suite géométrique de raison k = -1 .
Je suppose que la propriété P est vraie pour P(n) , vérifions pour P(n+1) :
w(n+1) = u(n+1) - v(n+1) = -1/2 , soit -1 * 1/12 , c'est tjs une suite géométrique vous etes d'accord , mais pour avoir -1/12 on fait -1 puissance quoi ?
Pour la limite je n'en vois pas elle m'a pas l'air d'en avoir ...
que pensez vous de mes réponses ?
merci
j'aimerais savoir ce que tu penses de mes réponses s'il te plait je déteste aller pomper sur d'autres posts ...
Ton raisonnement est inutile, pardon de te le dire..
Pour montrer qu'une suite est géométrique on calcule U(n+1)/U(n) et si ce quotient est constant hop! on a la raison et U(n) est une suite géométrique.
Pour montrer qu'une suite est arithmétique on calcule U(n+1)-U(n) et si ce quotient est constant hop! on a la raison et U(n) est une suite arithmétique.
merci bcp , alors b) Montrer que un et vn sont adjacentes .
Alors je dois d'abord montrer que un est croissance , je fais donc u(n+1)-un et en prenant par exemple u1 - u0 c'est positif , mais puis je déduire en prenant 2 valeurs arbitraires que la suite est croissante ? ça me parait louche car qui nous dit que pour u25-u24 ça sera poisitf , parce que c'est une suite géométrique ?
Pour vn je montre qu'elle est décroissante en écrivant v(n+1)-vn < 0 .
Maintenant je dois montrer que limite de vn-un tend vers 0 quand n tend vers + infini , jusque là c'est bon ?
Or pour tout n entier naturel, Wn<0 donc et donc
donc (Un) croissante.
Même idée pour montrer que (Vn) décroît 
par contre tu remarqueras que moi avec mes valeurs si je trouve une suite géométrique de raison 1/12 t'es d'accord ? ( pour u0 = 1 et v0 = 2 )
w(n+1) = u(n+1) - v(n+1) = -1/2 , soit -1 * 1/12 , c'est tjs une suite géométrique vous etes d'accord , mais pour avoir -1/12 on fait -1 puissance quoi ?
Non là y a un souci... c'est W(n+1)/Wn qui fait -1/12 pas W(n+1) tout seul... regarde le post de l'autre
ben c'est ce que j'ai écrit regarde mon post avant :
"par contre tu remarqueras que moi avec mes valeurs si je trouve une suite géométrique de raison 1/12 t'es d'accord ? ( pour u0 = 1 et v0 = 2 )" , c'est 1/12 et non -1/12 vu qu'on divise par -1
Pour montrer qu'une suite est géométrique on calcule U(n+1)/U(n) et si ce quotient est constant hop! on a la raison et U(n) est une suite géométrique.
donc la raison de la suite (Wn) est 1/12
Le premier terme Wo est donné par Wo=Uo-Vo donc 1-2=-1
Le terme général une suite géométrique
s'exprime en fonction de la raison et du premier terme :
donc
pour prouver que Vn est décroissante je fais v(n+1)-vn = 1/4 wn et comme wn < 0 , 1/4 wn <0 , donc la suite est bien décroissante .
vn - un = 11/12 wn , donc quand n tend vers l'infini , wn tend vers 0 et 11/12 * 0 ça fait 0 , donc les 2 suites sont adjacentes , right ?
ça revient strictement au meme je trouve , je dis directement que la limite de wn vaut 0 , donc la limite de 11/12 * wn vaut aussi 0 , c'est évident , tu l'as mieux écrit que moi de manière formelle mais on a dit la meme chose finalement , franchement je vois pas la différence...
et bien vn - un = 1/4 wn + 2/3 wn , ça fait bien 11/12 wn .
je rappelle que v(n+1)-vn = 1/4 wn , et 1/4 wn < 0 , donc vn décroissante .
ben c'est tout bete , on sait déjà que limite de wn quand n tend vers +inf ça vaut 0 donc ça yest on a notre 3eme condition pour dire que les suites sont adjacentes
parfait , j'ai presque fini :
c) soit t(n) la suite définie par tn = 3un + uvn , démontrer que tn est constante .
tn = 3un + 8vn
t(n+1) = 3U(n+1) + 8V(n+1) = Un + 2Vn + 2Un + 6Vn = 3Un + 8Vn , c'est un raisonnement par récurrence qui prouve que tn est constante .
d) en déduire les limites de suites Un et Vn
intuitivement je dirai qu'elles tendent vers 0...
Et c'est fini , c'est bon ?
De rien georgy
C'est toujours la même méthode :
Pour montrer qu'une suite est géométrique on calcule U(n+1)/U(n) et si ce quotient est constant hop! on a la raison et U(n) est une suite géométrique.
Pour montrer qu'une suite est arithmétique on calcule U(n+1)-U(n) et si cette différence est constante hop! on a la raison et U(n) est une suite arithmétique.
Pour étudier la monotonie, on étudie le signe de U(n+1) - Un
Bonsoir,
La suite ne serait-elle pas géométrique de raison
et de premier terme
? Conclusion ?
Avec tout mon respect,
T. Poma
Escuse moi mais je ne comprends pas très bien , oui cst une suite geometrique de raison 1/12 et de premier terme -1 mais je vois pas trop pq w0<0 oui bien cst parce que la raison est negative ?
Merci de m'avoir répondu
euh pardon cst une suite géométrique de raison 1/12 et de premier terme -1 mais je ne comprends pas trop le rapport avec Wn <0 ? cela a un rapport avec W0 = -1 ?!
Bonjour,
L'on a donc pour
quelconque dans
. Est-ce plus clair ? Il ne faut pas se retenir d'écrire les choses en Mathématique.
Avec tout mon respect,
T. P.
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